محیط اشکال هندسی را در مقاله محیط چیست به‌صورت مفهومی توضیح دادیم. سپس در مقاله محیط مثلث، یک گام پیش‌تر گذاشتیم و محیط انواع مثلث را با مثال بررسی کردیم. حالا و در این مقاله می‌خواهیم به بررسی جزئیات کامل یکی‌دیگر از مباحث محیط و مساحت اشکال هندسی یعنی مثلث قائم‌الزاویه بپردازیم. بسته به اینکه در صورت سوال چه اطلاعاتی آمده باشد، محیط مثلث قائم‌الزاویه را به روش‌های مختلفی می‌توان محاسبه کرد. ما در اینجا، روش‌های مختلف محاسبه محیط مثلث قائم‌الزاویه را با مثال بررسی می‌کنیم.
محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه | اطلاعات موردنیاز
مثلث قائم‌الزاویه یک شکل هندسی ۳ ضلعی با یک زاویه ۹۰ درجه است. در این دسته از مثلث‌ها، به ضلع‌های مجاور زاویه راست یا ۹۰ درجه، «قاعده و ارتفاع» و به ضلع مقابل زاویه قائمه «وتر» می‌گویند. برای محاسبه محیط مثلث قائم‌الزاویه باید اندازه هر ۳ ضلع آن را داشته باشیم، زیرا برای محاسبه محیط، باید اندازه دور تا دور یک شکل هندسی را حساب کنیم. به تصویر زیر نگاه کنید:
اگر بخواهیم فاصله دور تا دور (محیط) مثلث بالا را حساب کنیم، باید اندازه ۳ ضلع آن را داشته باشیم و سپس با هم جمعشان کنیم.
فرمول محیط مثلث قائم الزاویه
فرمول محیط مثلث قائم‌الزاویه مشابه با فرمول محیط دیگر انواع مثلث است:
اندازه ضلع سوم + اندازه ضلع دوم + اندازه ضلع اول = محیط مثلث قائم‌الزاویه
محیط مثلث قائم‌الزاویه را با نمادهای جبری ریاضیاتی به این شکل می‌نویسند:
P = a + b + c
- P: محیط مثلث قائم‌الزاویه
- a و b: ۲ ضلع مجاور زاویه ۹۰ درجه
- c: وتر (ضلع مقابل زاویه راست یا ۹۰ درجه)
روش های محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه با مثال
به صورت کلی ۳ حالت پرتکرار در سوالات مربوط به مبحث محیط مثلث قائم‌الزاویه وجود دارد:
- اندازه هر ۳ ضلع مثلث را داشته باشیم.
- اندازه ضلع‌های مثلث را نداشته باشیم، اما شکل هندسی آن مثلث در دسترس باشد.
- اندازه ۲ ضلع مثلث قائم‌الزاویه را داشته باشیم، اما مقدار یکی از آن‌ها در صورت سوال نیامده باشد.
محاسبه محیط مثلث قائم‌الزاویه با ۳ ضلع
اگر اندازه ۳ ضلع مثلث قائم‌الزاویه را داشته باشیم، به‌راحتی و با استفاده از فرمول اصلی محیط مثلث، جواب را محاسبه می‌کنیم.
مثال: اندازه قاعده و ارتفاع (۲ ضلع مجاور زاویه قائمه) یک مثلث به ترتیب ۴ و ۵ سانتی‌متر و مقدار وتر این مثلث ۷ سانتی‌متر است. مساحت این مثلث چند سانتی‌متر می‌شود؟
جواب: برای محاسبه محیط مثلث قائم‌الزاویه باید اندازه ۳ ضلع آن را با هم جمع کرد:
محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه با اندازه گرفتن ضلع‌های آن
اگر شکل هندسی یک مثلث قائم‌الزاویه در دسترس باشد، می‌توانیم با استفاده از خط‌کش، اندازه ۳ ضلع آن را در بیاوریم. وقتی هر ۳ ضلع را با استفاده از خط‌کش اندازه گرفتیم، آن‌ها را با هم جمع و محیط مثلث را حساب می‌کنیم.
محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه با یک ضلع مجهول
در مثلث قائم‌الزاویه رابطه جالبی بین ۲ ضلع مجاور زاویه ۹۰ درجه و وتر وجود دارد که توسط فیثاغورس کشف شد:
c۲= a۲ + b۲
- c: وتر مثلث قائم‌الزاویه
- a و b: ضلع‌های مجاور زاویه ۹۰ درجه (قاعده و ارتفاع)
طبق این قاعده، اگر اندازه یکی از ضلع‌های مثلث را نداشته باشیم، از طریق فرمول‌های زیر می‌توانیم آن را حساب کنیم:
(c = √(a۲+ b۲
(a = √(c۲– b۲
(b = √(c۲– a۲
مثال: قاعده و وتر یک مثلث قائم‌الزاویه به ترتیب ۵ و ۱۳ سانتی‌متر هستند. ارتفاع و محیط این مثلث را حساب کنید.
جواب: ابتدا به کمک قاعده فیثاغورس، اندازه ضلع سوم (ارتفاع) مثلث را حساب می‌کنیم. اگر ارتفاع مثلث قائم‌الزاویه را «a» در نظر بگیریم، آنگاه خواهیم داشت:
حالا که اندازه ۳ ضلع مثلث را داریم، محیط مثلث قائم‌الزاویه را از طریق جمع اضلاع حساب می‌کنیم:
P = a + b + c
P = ۱۲ + ۵ + ۱۳
P = ۳۰
مثال برای محیط مثلث قائم الزاویه
حالا که با انواع روش‌های محاسبه محیط مثلث قائم‌الزاویه آشنا شدیم، بیایید برای درک و یادگیری بهتر این مبحث، چند مثال با یکدیگر حل کنیم:
مثال اول: محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه با ۳ ضلع
قاعده، ارتفاع و وتر یک مثلث قائم‌الزاویه به ترتیب ۶، ۸ و ۱۰ سانتی‌متر است. محیط این مثلث چند سانتی‌متر می‌شود؟جواب: چون اندازه ۳ ضلع مثلث را داریم، با استفاده از فرمول محیط مثلث، جواب را به دست می‌آوریم:
مثال دوم: محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه متساوی‌الساقین
قاعده و وتر یک مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین به ترتیب ۴ و ۷ سانتی‌متر است. محیط این مثلث را حساب کنید.
جواب: در مثلث‌های قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین، ۲ ضلع مجاور زاویه ۹۰ درجه (قاعده و ارتفاع) با هم برابرند. چون قاعده این مثلث ۴ سانتی‌متر است، پس ارتفاع آن هم ۴ سانتی‌متر است. حالا که اندازه ۳ ضلع مثلث را پیدا کردیم، برای محاسبه محیط آن از قاعده جمع ۳ ضلع استفاده می‌کنیم.
مثال سوم: محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه به کمک مساحت آن
مساحت، ارتفاع و وتر یک مثلث قائم‌الزاویه به ترتیب ۱۰، ۵ و ۶ سانتی‌متر هستند. قاعده و محیط این مثلث را حساب کنید.
جواب: مساحت مثلث قائم‌الزاویه از طریق «قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر ۲» محاسبه می‌شود. وقتی مقدار مساحت و یکی از اندازه‌های قاعده و ارتفاع را داشته باشیم، با جای‌گذاری آن‌ها در فرمول مساحت می‌توانیم مقدار ضلع دیگر را پیدا کنیم:
سخن پایانی
در مثلث قائم‌الزاویه به ۲ ضلع مجاور زاویه ۹۰ درجه، «ارتفاع و قاعده» و به ضلع مقابل زاویه قائمه «وتر» می‌گویند. محیط مثلث قائم‌الزاویه از طریق جمع اندازه ۳ ضلع آن (P = a + b + c) به دست می‌آید. در این فرمول، a و b نماد ارتفاع و قاعده و c، نماد وتر مثلث است. گاهی اندازه ۳ ضلع مثلث را در صورت سوال نداریم. در این مواقع باید از روش‌های دیگری مانند «محاسبه ضلع مجهول طبق قاعده فیثاغورس» یا «اندازه‌گیری اضلاع مثلث با خط‌کش» کمک بگیریم. ما در اینجا حالت‌ها و روش‌های مختلف محاسبه محیط مثلث را توضیح دادیم. امیدواریم که مطالعه این مقاله در یادگیری بهتر و عمیق‌تر محیط مثلث به شما کمک کرده باشد.
