در مقاله محیط گفتیم که محیط یک شکل هندسی مساوی با مجموع اندازه ضلع‌های آن است. در مقاله محیط مثلث یک‌قدم پیشتر آمدیم و به این مسئله اشاره کردیم که محیط مثلث از طریق جمع اندازه ۳ ضلع آن به دست می‌آید. در آنجا به فرمول اختصاصی محیط مثلث متساوی‌الاضلاع هم اشاره‌ای کردیم. حالا در این مقاله می‌خواهیم وارد جزئیات فرمول محیط مثلث متساوی الاضلاع شویم و یک گام به انتهای مجموعه آموزش‌های محیط و مساحت اشکال هندسی نزدیک‌تر شویم.
محیط مثلث متساوی الاضلاع | تعریف مفهومی
مهم‌ترین نکته در درک محیط مثلث متساوی‌الاضلاع، آگاهی از مساوی‌بودن ۳ ضلع آن است. اگر یک مثلث متساوی‌الاضلاع با ۳ راس الف، ب و پ داشته باشیم، آنگاه:
- اندازه ضلع «الف-ب» = اندازه ضلع «ب-پ» = اندازه ضلع «پ-الف».
این ویژگی مثلث متساوی‌الاضلاع کار محاسبه محیطش را راحت‌تر می‌کند، زیرا به‌جای اختصاص نمادهای متفاوت برای هر کدام از ضلع‌ها، می‌توانیم همه آن‌ها را با یک نماد نشان دهیم. در مقاله محیط مثلث گفتیم که هر کدام از ضلع‌های مثلث را با نمادهای الف، ب و پ یا a، b و c نام‌گذاری می‌کنیم. وقتی اندازه هر ۳ ضلع مثلث یکسان باشد، می‌شود همه آن‌ها را الف یا a نامید و فرمول کلی مساحت مثلث را به این شکل بازنویسی کرد:
الف + الف + الف = محیط مثلث متساوی‌الاضلاع
پس برای محاسبه محیط مثلث متساوی‌الاضلاع، به‌جای جمع اندازه ۳ ضلع، از ضرب اندازه یک ضلع در ۳ استفاده می‌کنیم که به‌نوعی روشی کوتاه‌تر به حساب می‌آید.
فرمول محیط مثلث متساوی الاضلاع
باتوجه به توضیحات بالا، ۲ روش برای محاسبه محیط مثلث متساوی‌الاضلاع وجود دارد:
- جمع اندازه ۳ ضلع آن
- ضرب اندازه یک ضلع ضربدر ۳
فرمول دوم مختص به محیط مثلث متساوی‌الاضلاع و نتیجه مستقیم فرمول اول است:
اندازه ضلع سوم + اندازه ضلع دوم + اندازه ضلع اول = محیط مثلث متساوی‌الاضلاع
اینجا یه فلش رو به پایین داشته باشیم که نشون‌دهنده علامت نتیجه‌گیری باشه.
اندازه یک ضلع × ۳ = محیط مثلث متساوی‌الاضلاع
اگر بخواهیم فرمول بالا را به‌صورت عبارت‌های جبری ریاضیاتی بنویسیم، به این شکل در می‌آید:
P = a + a + a = ۳ × a
- P: محیط مثلث متساوی‌الاضلاع
- a: اندازه اضلاع مثلث متساوی‌الاضلاع
پس فرمول اصلی محیط مثلث متساوی‌الاضلاع برابر با اندازه یک ضلع ضربدر ۳ است.
مثال: اگر یک ساعت به شکل مثلث متساوی‌الاضلاع داشته باشیم که اندازه یکی از ضلع‌های آن ۶ سانتی‌متر باشد، اندازه محیط آن را حساب کنید.جواب: در صورت سوال به متساوی‌الاضلاع‌بودن مثلث اشاره شده است. در مثلث‌های متساوی‌الاضلاع، ۳ ضلع با یکدیگر مساوی‌اند، پس خواهیم داشت:
اندازه یک ضلع × ۳ = محیط مثلث متساوی‌الاضلاع
۱۸ = ۶ × ۳
پیشنهاد مطالعه: محیط مثلث قائم الزاویه
محاسبه محیط مثلث متساوی اضلاع به روش های مختلف
روش‌های زیادی برای محاسبه محیط مثلث متساوی‌الاضلاع وجود دارد که ۳ مورد از آن‌ها پرکاربردتر هستند:
- فرمول اصلی که برای استفاده از آن به اندازه ضلع مثلث نیاز داریم.
- از طریق فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع اگر مقدار آن را داشته باشیم.
- به‌کمک فرمول ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاع اگر مقدار آن را داشته باشیم.
روش دوم و سوم را زمانی به کار می‌بریم که اندازه ضلع مثلث در صورت سوال نیامده باشد و بخواهیم آن را حساب کنیم. چون در قسمت قبل با فرمول اول آشنا شده‌ایم، در این قسمت به توضیح ۲ روش دیگر می‌پردازیم.
محاسبه محیط مثلث متساوی الاضلاع با استفاده از مساحت آن
برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاع یک فرمول اختصاصی وجود دارد که در آن به اندازه یکی از ضلع‌هایش نیاز داریم.
A= √۳ ÷ ۴× a۲
بنابراین، اگر مساحت یک مثلث متساوی‌الاضلاع را داشته باشیم، با استفاده از آن می‌توانیم طول اضلاعش را حساب کنیم. به‌عنوان‌مثال:
- اگر مساحت مثلث متساوی‌الاضلاعی ۳۶ سانتی‌متر باشد، محیط آن چقدر می‌شود؟
جواب: چون در صورت سوال اندازه مساحت مثلث را به ما داده است، چاره‌ای نداریم جز اینکه ابتدا به کمک فرمول، اندازه ضلع آن را پیدا کنیم. پس بیایید این مقدار را در فرمول بگذاریم و به جواب برسیم:
حالا که اندازه یک ضلع مثلث (a) را به دست آوردیم، آن را در فرمول محیط مثلث متساوی‌الاضلاع جای‌گذاری می‌کنیم:
P = ۳ × a
P = ۳ × ۹/۱۲
P = ۲۷/۳۶
محاسبه محیط مثلث متساوی الاضلاع به‌کمک ارتفاع آن
آنچه در فرمول مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع داشتیم، در فرمول ارتفاع هم دیده می‌شود:
h=√۳÷۲×a
در این فرمول نیز به اندازه یکی از ضلع‌ها نیاز داریم. پس اگر اندازه ارتفاع مثلث را داشته باشیم، می‌توانیم اندازه اضلاعش را به دست آوریم و محیطش را محاسبه کنیم:مثال: اگر یک آینه دیواری به شکل مثلث متساوی‌الاضلاع داشته باشیم که ارتفاعش ۹ سانتی‌متر باشد، محیط این مثلث را محاسبه کنید:
حالا که اندازه یک ضلع مثلث (a) را به دست آوردیم، آن را در فرمول محیط مثلث متساوی‌الاضلاع می‌گذاریم:
P = ۳ × a
P = ۳ × ۱۰/۴۰
P = ۳۱/۲
مثال برای محیط مثلث متساوی الاضلاع
برای جاافتادن بهتر محیط مثلث متساوی‌الاضلاع، در ادامه چند مثال متفاوت از این مبحث می‌زنیم و حل می‌کنیم:\
مثال اول: محاسبه اندازه ضلع مثلث متساوی الاضلاع از روی محیط آن
اگر اندازه محیط مثلث متساوی‌الاضلاعی ۱۸ سانتی‌متر باشد، اندازه هر کدام از اضلاع آن چند سانتی‌متر است؟جواب: معمولا در صورت سوال اندازه ضلع را داریم و اندازه محیط را می‌خواهیم، اما در این سوال شرایط برعکس است. در اینجا باید به کمک جای‌گذاری محیط مثلث در فرمول، اندازه ضلع آن را به دست آوریم:
اندازه هر کدام از ضلع (a)های این مثلث ۶ سانتی‌متر است.
مثال دوم: محاسبه محیط مثلث متساوی الاضلاع با قاعده ضرب
اگر یک تابلوی راهنمایی به شکل مثلث متساوی‌الاضلاع داشته باشیم که اندازه یکی از ضلع‌هایش ۸ سانتی‌متر باشد، محیط آن را طبق قاعده ضرب حساب کنید:
جواب: منظور از قاعده ضرب، همان فرمول اصلی محیط مثلث متساوی‌الاضلاع است. در این فرمول باید اندازه یک ضلع را ضربدر ۳ کنیم، پس خواهیم داشت:
P = ۳ × a
P = ۳ × ۲۴ = ۸
مثال سوم: تعیین رابطه بین ضلع و محیط مثلث متساوی الاضلاع
اگر ۳ مثلث متساوی‌الاضلاع با اندازه ضلع‌های ۳، ۴ و ۵ سانتی‌متر داشته باشیم، ابتدا محیط این مثلث‌ها را حساب و سپس رابطه بین محیط و ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع را پیدا کنید:
P = ۳ × ۹ = ۳
P = ۳ × ۱۲ = ۴
P = ۳ × ۱۵ = ۵
جواب: همان‌طور که می‌بینید، با یک واحد اضافه‌شدن به ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع، محیط آن ۳ واحد بزرگ‌تر می‌شود. پس رابطه بین محیط و ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع همواره ۳ به ۱ است.
سخن پایانی
محیط مثلث متساوی‌الاضلاع مساوی با اندازه یک ضلع ضربدر ۳ (a × ۳P = ) است. این فرمول برگرفته از فرمول اصلی محیط انواع مثلث‌ها یعنی مجموع اندازه ۳ ضلع است؛ اما چون اندازه ۳ ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع با یکدیگر برابرند، به‌جای جمع آن‌ها با یکدیگر، از ضرب یکی از اضلاع در ۳ استفاده می‌کنیم. محیط مثلث متساوی‌الاضلاع را با استفاده از فرمول مساحت و ارتفاع آن هم می‌توان محاسبه کرد، زیرا در این فرمول‌ها به اندازه ضلع مثلث نیاز داریم. ما در این مقاله سعی کردیم شما را با روش‌های متفاوت محاسبه محیط مثلث متساوی‌الاضلاع آشنا کنیم. امیدواریم که مثال‌ها و روش‌های بیان‌شده، در یادگیری این مبحث به کارتان آمده باشند.
منابع
محیط مثلث متساوی الاضلاع – فرمول، تعریف، … | Cuemath
