الگوهای عددی دنباله‌ای از اعداد هستند که بر اساس الگوی خاصی پشت سر هم می‌آیند؛ به‌گونه‌ای که هر عدد با عدد قبل و بعد خودش دارای رابطه مشخصی است. شناسایی و استفاده از الگوهای اعداد مزایای متعددی مانند پیش‌بینی نتایج و ایجاد روابط بین اشیاء و متغیرهای مختلف در دنیای اطراف ما دارد. در این مقاله، قصد داریم الگوهای عددی را معرفی کنیم و همراه با حل مثال، روش یافتن فرمول الگوی عددی را آموزش دهیم.
الگوی اعداد چیست؟
الگوهای عددی گروهی از اعداد هستند که از قوانین خاصی پیروی می‌کنند و براساس رابطه مشخصی که با عدد قبل و بعد خود دارند، به‌ترتیب به‌دنبال هم می‌آیند. بنابراین، منظور از الگوی اعداد همان رابطه بین اعداد در یک دنباله است.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیه‌های مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر می‌شود!
فرمول الگوی عددی
فرمول الگوی عددی به فرمول یا رابطه‌ای گفته می‌شود که توسط آن میتوان مقادیر جملههای یک دنباله را تعیین کرد. به بیانی دیگر تمام جملههای یک دنباله از فرمول الگوی عددی خاصی پیروی می‌کنند. مجموعه اعداد زیر را در نظر بگیرید.
۵, ۱۰, ۱۵, ۲۰, ۲۵,…
این مجموعه اعداد یک دنباله عددی را نشان می‌دهند که هر جمله آن با جمله قبلی خود ۵ واحد اختلاف دارد. اولین جمله این دنباله ۵ است که با اضافه کردن ۵ واحد به آن، جمله دوم یعنی ۱۰ ایجاد می‌شود و به‌همین ترتیب، با اضافه کردن ۵ واحد به جمله دوم یعنی ۱۰، جمله سوم یعنی ۱۵ حاصل می‌شود. با توجه به اینکه تمام اعداد این دنباله مضرب ۵ هستند، این اعداد را میتوان به‌صورت زیر نوشت:
۵ × ۱ = ۵
۵ × ۲ = ۱۰
۵ × ۳ = ۱۵
۵ × ۴ = ۲۰
همان‌طور که می‌بینید، مقدار هر جمله از حاصل‌ضرب ۵ در شماره آن جمله به‌دست می‌آید. بنابراین، می‌توانیم با کمک این رابطه مقادیر جملههای دیگر را هم پیش‌بینی کنیم. مثلاً اگر بخواهیم مقدار جمله ۱۲اُم را تعیین کنیم، کافی‌ست ۵ را در شماره جمله یعنی ۱۲ ضرب کنیم.
۵ × ۱۲ = ۶۰
چگونه رابطه الگو را پیدا کنیم؟
در این بخش، به سؤالی که احتمالاً برای شما هم مطرح می‌شود پاسخ میدهیم؛ اینکه چگونه می‌توانیم رابطه یا فرمول الگوی عددی را به‌دست آوریم. یکی از روش‌هایی که میتوان با کمک آن رابطه الگوی اعداد را تعیین کرد، رسم شکل است. برای اینکه با روش تعیین فرمول الگوی عددی با استفاده از رسم شکل آشنا شوید، در ادامه نحوه الگویابی اعداد فرد و زوج را با این روش توضیح خواهیم داد.
الگوی اعداد فرد
اعداد فرد به اعدادی گفته می‌شود که بر ۲ بخش‌پذیر نیستند. این مجموعه اعداد به‌صورت زیر نمایش داده می‌شوند:
۱, ۳, ۵, ۷, ۹,…
دنباله اعداد فرد با عدد ۱ آغاز می‌شود و در آن هر عدد با عدد قبل از خود ۲ واحد اختلاف دارد. در تصویر زیر، جملههای اول تا پنجم این اعداد با استفاده از شکل نشان داده شده است. برای یافتن فرمول الگوی این اعداد باید ببینیم چه رابطه‌ای بین شماره شکل و تعداد مربع‌ها وجود دارد.
در شکل (۱) ۱ مربع، در شکل (۲) ۳ مربع، در شکل (۳) ۵ مربع، در شکل (۴) ۷ مربع و در شکل (۵) ۹ مربع دیده می‌شود. از این رابطه‌ها میتوان دریافت که اگر شماره شکل را در ۲ ضرب کرده و سپس منهای یک کنیم، تعداد مربع‌ها و درنتیجه عدد فرد موردنظر به‌دست می‌آید. بنابراین، فرمول الگوی اعداد فرد به‌صورت زیر خواهد بود:
۱ – ( شماره شکل یا جمله × ۲ ) = فرمول الگو اعداد فرد
به‌عنوان نمونه، اگر قرار باشد جمله ۱۳اُم دنباله اعداد فرد را تعیین کنیم، خواهیم داشت:
الگوی اعداد زوج
اعداد زوج اعدادی هستند که بر ۲ بخش‌پذیرند. دنباله اعداد زوج از عدد ۲ شروع می‌شود و در آن هر عدد با عدد قبل از خود ۲ واحد اختلاف دارد.
۲, ۴, ۶, ۸, ۱۰,…
تصویر زیر، جملههای اول تا پنجم این دنباله را با کمک شکل به‌خوبی نشان می‌دهد. با توجه به شماره شکل‌ها و تعداد مربع‌ها میتوان نتیجه گرفت که اگر شماره شکل در ۲ ضرب شود، تعداد مربع‌ها یعنی عدد زوج مربوطه به‌دست می‌آید. پس دنباله اعداد زوج از رابطه زیر تعیین خواهد شد:
شماره شکل یا جمله ×۲ = فرمول الگو اعداد زوج
برای مثال، جمله ۱۷اُم دنباله اعداد زوج برابر است با
الگوهای عددی همیشه روبه‌افزایش نیستند، بلکه می‌توانند رو‌به‌کاهش هم باشند. در بخش بعدی، تفاوت این دو نوع الگو را با مثال بیان خواهیم کرد.
الگوهای افزایشی
الگوی افزایشی به آن دسته از الگوهای عددی گفته می‌شود که مقدار هر جمله آن نسبت به جمله قبلی بیشتر است. این نوع الگوها اغلب براساس عمل جمع و ضرب شکل می‌گیرند. برای مثال، دنباله اعداد زوج و فردی که در بخش‌های قبل مورد بررسی قرار دادیم، الگوهای عددی افزایشی محسوب می‌شوند.
الگوی اعداد مثلثی
الگوی مثلثی نمونه دیگری از الگوهای افزایشی است. عدد مثلثی عدد صحیح مثبتی است که تعداد نقاط یا دایره‌های قرارگرفته در یک مثلث متساوی‌الاضلاع یا قائم‌الزاویه را نشان می‌دهد. این الگوی عددی همراه با رسم شکل در تصویر زیر نشان داده شده است. ازآنجا که دنباله اعداد مثلثی به‌صورت ۱, ۳, ۶, ۱۰, ۱۵, ۲۱,… است، فرمول الگویابی آن به‌صورت زیر خواهد بود:
به‌عنوان مثال، جمله ۳۷اُم دنباله اعداد مثلثی را به‌صورت زیر محاسبه می‌کنیم:
مقدار حاصل نشان می‌دهد که شکل ۳۷اُم از ۷۰۳ نقطه ساخته شده است.
الگوی اعداد مربعی
الگوی مربعی نیز یک الگوی افزایشی به‌شمار می‌رود. اعداد مربعی به اعداد صحیح مثبتی گفته می‌شود که مربع کامل هستند. این الگوی افزایشی در تصویر زیر با استفاده از شکل نشان داده شده است. دنباله اعداد مربعی و فرمول الگویابی آن به‌صورت زیر است:
۱, ۴, ۹, ۱۶, ۲۵, ۳۶,…
شماره شکل × شماره شکل = فرمول الگو اعداد مربعی
الگوهای کاهشی
در الگوهای کاهشی برخلاف الگوهای افزایشی مقدار جمله‌ها روند کاهشی دارد، یعنی مقدار هر کدام از جمله‌ها نسبت به جمله قبلی کمتر است. الگوهای کاهشی اغلب با استفاده از عمل تفریق و تقسیم ایجاد می‌شوند. به الگوهای عددی زیر توجه کنید.
۱۲, ۱۰, ۸, ۶, ۴, ۲, ۰
۲۴, ۱۲, ۶, ۳
در دنباله اول، هر عدد ۲ واحد از عدد قبل خود کمتر است، اما در دنباله دوم هر عدد نصف عدد قبل از خودش است. ازاین‌رو، هر دو الگوی عددی الگوهای کاهشی به‌حساب می‌آیند. در الگوهای کاهشی بزرگ‌ترین عدد اولین عدد الگوست و باقی اعداد از آن کوچک‌تر هستند.
مثال: عدد بعدی الگوهای زیر را تعیین کنید.
الف) ۲۸, ۲۱, ۱۴,…
ب) ۲, ۵, ۱۰, ۱۷,…
جواب:
الف) الگوی الف یک الگوی کاهشی را نشان می‌دهد که هر جمله آن از جمله قبل از خود ۷ واحد کمتر است. بنابراین، جمله بعدی این دنباله ۷ خواهد بود.
۲۸, ۲۱, ۱۴, ۷
ب) برای تعیین جمله بعدی این دنباله، یک جدول به‌شکل زیر تشکیل میدهیم تا فرایند الگویابی برایمان راحت‌تر باشد.
| ۴ | ۳ | ۲ | ۱ | شماره جمله |
| ۱۷ | ۱۰ | ۵ | ۲ | مقدار جمله |
با توجه به جدول بالا، میتوان گفت فرمول الگوی عددی داده‌شده به‌صورت زیر است:
۱ + (خودش × شماره جمله)
بنابراین، مقدار جمله پنجم برابر است با
۲۶ = ۱ + ۲۵ = ۱ + (۵ × ۵) = ۱ + (خودش × شماره جمله)
سخن پایانی
درک الگوها در دنیای پیرامون، توانایی پیش‌بینی ما نسبت به نتایج را افزایش می‌دهد. الگوهای عددی ازجمله این الگوها در ریاضی هستند که از قواعد خاصی پیروی می‌کنند. درواقع، الگوهای عددی دنباله‌ای از اعداد را نشان می‌دهند که با استفاده از یک فرمول الگویابی ایجاد شده‌اند. ما در این مقاله سعی کردیم شما را با فرمول‌های چند نمونه از الگوهای عددی ازجمله الگوهای اعداد فرد و زوج و اعداد مثلثی و مربعی آشنا کنیم. با توجه به تنوع الگوهای عددی پیشنهاد می‌کنیم برای کسب مهارت در یافتن الگویابی، به حل تمرین‌های بیشتر بپردازید.
سؤالات متداول
- منظور از فرمول الگوی عددی چیست؟
فرمول الگوی عددی فرمولی است که با کمک آن میتوان مقدار جملههای یک دنباله را مشخص کرد. - الگوی افزایشی یعنی چه؟
الگوی افزایشی یک الگوی عددی است که در آن مقدار هر جمله از جمله قبل از خودش بیشتر است. - الگوی کاهشی یعنی چه؟
الگوی کاهشی الگویی عددی است که در آن مقدار هر جمله نسبت به جمله قبلی کمتر است. - فرمول الگوی اعداد فرد چیست؟
فرمول الگوی اعداد فرد مساوی است با جمله یا شکل شماره۲-۱. - فرمول الگوی اعداد زوج چیست؟
فرمول الگوی اعداد زوج برابر با «جمله یا شکل شماره۲» است.
