آموزش انواع ضرب کسرها به زبان ساده | آموزش تصویری + حل نمونه سوال

کسرها نقش مهمی در بسیاری از مفاهیم ریاضی ایفا می‌کنند. به همین دلیل، آشنایی با عملیات ریاضی در آن‌ها از اهمیت خاصی برخوردار است. در مقالات قبلی درباره ضرب و تقسیم کسر ها به صورت کلی صحبت کردم، اما در اینجا به بررسی دقیق و کامل تر ضرب کسر ها می پردازیم. عمل ضرب در کسرها یکی از این عملیات اساسی است که قرار است در این مقاله با آموزش نحوه انجام آن، انواع ضرب کسرها آشنا شویم. 

ضرب کسر در کسر 

برای عمل ضرب کردن در کسرها مانند جمع و تفریق کسر ها نیازی به مساوی بودن مخرج‌ها نیست، بلکه هر دو کسر با مخرج‌های مختلف را هم می‌توان به‌راحتی در هم ضرب کرد. نحوه ضرب کردن کسرها به این صورت است که ابتدا صورت‌ها و مخرج‌ها را جداگانه در هم ضرب می‌کنیم و سپس، کسر حاصل را با کمک روش‌های ساده کردن کسرها تا جای ممکن ساده می‌کنیم.

البته، می‌توانیم ابتدا ساده‌کردن کسرها و سپس، عمل ضرب آن‌ها را انجام دهیم. در هر دو صورت، نتیجه یکسانی حاصل خواهد شد. در ادامه با حل یک مثال با عمل ضرب کسرها بیشتر آشنا شوید.

فرض کنید می‌خواهیم کسرهای را در هم ضرب کنیم. برای این کار، کافی‌ست صورت‌ها و مخرج‌ها در هم ضرب شوند.

کسر به‌دست‌آمده را می‌توانیم ساده کنیم و به‌شکل زیر بنویسیم:

$$\frac{۲}{۶}\times <!--\; \times \; -->\frac{۳}{۱۵}=\frac{۲\times <!--\; \times \; -->۳}{۶\times <!--\; \times \; -->۱۵}=\frac{۶}{۹۰}$$ $$\frac{۶}{۹۰}=\frac{۶÷<!--\; ÷\; -->۶}{۹۰÷<!--\; ÷\; -->۶}=\frac{۱}{۱۵}$$

اگر از همان ابتدا کسرها را به‌صورت زیر ساده می‌کردیم و بعداً عمل ضرب را انجام می‌دادیم، باز هم همین نتیجه به‌دست می‌آمد. 

$$\frac{۲}{۶}=\frac{۲÷<!--\; ÷\; -->۲}{۶÷<!--\; ÷\; -->۲}=\frac{۱}{۳}$$ $$\frac{۳}{۱۵}=\frac{۳÷<!--\; ÷\; -->۳}{۱۵÷<!--\; ÷\; -->۳}=\frac{۱}{۵}$$ $$\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->\frac{۱}{۵}=\frac{۱}{۱۵}$$

توجه داشته باشید که قاعده ضرب کسرها برای هر تعداد کسر به همین صورت است. به‌عنوان مثال، برای ضرب سه کسر زیر خواهیم داشت:

$$\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->\frac{۲}{۳}\times <!--\; \times \; -->\frac{۵}{۷}=\frac{۱\times <!--\; \times \; -->۲\times <!--\; \times \; -->۵}{۳\times <!--\; \times \; -->۳\times <!--\; \times \; -->۷}=\frac{۱۰}{۶۳}$$

پیشنهاد مطالعه: آموزش تقسیم کسرها

ضرب کسر در کسر با شکل

استفاده از شکل، معمولاً درک مفاهیم ریاضی را آسان‌تر می‌کند. برای همین، در این بخش با آوردن یک مثال، نحوه ضرب کسرها با شکل را توضیح می‌دهیم. 

فرض کنید می‌خواهیم حاصل‌ضرب را به‌دست آوریم. پیدا کردن حاصل  معادل یافتن از این بدین معناست که ابتدا باید را مشخص کنیم و سپس، آن را نشان دهیم. بنابراین، طبق مراحل زیر رسم شکل را انجام می‌دهیم: 

گام اول: یک مستطیل را به ۴ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم و ۳ قسمت از آن را سایه می‌زنیم تا کسر نشان داده شود.

گام دوم: در مرحله بعد، با رسم خطوط افقی هر کدام از ۴ قسمت مساوی مستطیل را به ۵ بخش مساوی تقسیم می‌کنیم.

گام سوم: در مرحله آخر کافی‌ست ۲ قسمت از ۵ قسمت هر کدام از ستون‌های رنگی را با رنگ دیگر سایه بزنیم. درنهایت مستطیلی با ۲۰ قسمت مساوی خواهیم داشت که ۶ قسمت آن با رنگی دیگر رنگ‌آمیزی شده است. بنابراین، حاصل‌ضرب دو کسر داده‌شده برابر است با

$$\frac{۲}{۵}\times <!--\; \times \; -->\frac{۳}{۴}=\frac{۶}{۲۰}$$

ضرب کسر در کسر با محور

برای نشان دادن حاصل‌ضرب دو عدد کسری مانند روی محور اعداد، باید مراحل زیر را دنبال کنیم:

گام اول: ابتدا عامل دوم ( ) را روی محور نشان می‌دهیم.

گام دوم: در مرحله دوم، باید  عدد  را مشخص کنیم. برای این کار کافی‌ست ۰ تا را به ۳ قسمت مساوی تقسیم کرده و سپس، آن را تعیین کنیم. شکل زیر، این مراحل را به‌خوبی نشان می‌دهد.

ضرب عدد در کسر 

برای ضرب کردن عدد در کسر، ابتدا مخرج عدد را یک قرار می‌دهیم و سپس، مطابق آنچه که در بخش‌های قبل بیان کردیم، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را نیز در یکدیگر ضرب می‌کنیم. به‌عنوان مثال، ضرب زیر را در نظر بگیرید:

$$۷\times <!--\; \times \; -->\frac{۳}{۴}$$

برای تعیین حاصل این عبارت، نخست باید مخرج ۷ را یک قرار دهیم تا به یک کسر تبدیل شود و سپس، حاصل‌ضرب را به‌دست آوریم. خواهیم داشت:

$$۷\times <!--\; \times \; -->\frac{۳}{۴}=\frac{۷}{۱}\times <!--\; \times \; -->\frac{۳}{۴}=\frac{۷\times <!--\; \times \; -->۳}{۱\times <!--\; \times \; -->۴}=\frac{۲۱}{۴}$$

پیشنهاد مطالعه: آموزش کامل جمع کسر ها

ضرب عدد در کسر با شکل

می‌خواهیم حاصل‌ضرب را با کمک شکل به‌دست آوریم. یعنی ۵ تا پس باید ۵ تا شکل داشته باشیم. با توجه به اینکه مخرج کسر ۳ است، شکل‌هایی را رسم می‌کنیم که به ۳ قسمت مساوی تقسیم شده باشند. پس از رسم شکل‌ها، مطابق تصویر زیر ۵ تا  را تعیین کرده و رنگ می‌زنیم.

اکنون تعداد خانه‌های رنگ‌شده را می‌شماریم. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، تعداد این خانه‌ها ۱۰ تاست یعنی ۱۰ تا داریم. ازاین‌رو، حاصل‌ضرب ما برابر با خواهد بود. ازآنجا که کسر حاصل یک کسر بزرگ‌تر از واحد است، می‌توانیم با استفاده از روش‌های تبدیل کسر به عدد مخلوط آن را به‌صورت عدد مخلوط بنویسیم.

$$\frac{۱۰}{۳}=\frac{۹+۱}{۳}=\frac{۹}{۳}+\frac{۱}{۳}=۳+\frac{۱}{۳}=۳\frac{۱}{۳}$$

ضرب عدد در کسر با محور 

اگر بخواهیم حاصل‌ضرب یک عدد در کسر مثلاً حاصل‌ضرب  را روی محور نشان دهیم، ابتدا به مخرج کسر نگاه می‌کنیم. در اینجا مخرج مساوی با ۳ است. بنابراین، باید هر واحد محور را به ۳ قسمت مساوی تقسیم کنیم. پس از تقسیم‌بندی واحدها، به‌اندازه ۵ تا جلو می‌رویم و آن را روی محور نشان می‌دهیم. درنهایت، مانند آنچه در شکل زیر می‌بینید، عدد کسری را به عدد مخلوط تبدیل می‌کنیم.

ضرب کسر در عدد

محاسبه حاصل‌ضرب کسر در عدد مانند عمل ضرب عدد در کسر انجام می‌شود. یعنی ابتدا با قرار دادن مخرج ۱ برای عدد، آن را به کسر تبدیل کرده و سپس، صورت‌ها و مخرج‌ها را جداگانه در هم ضرب می‌کنیم.

برای مثال، حاصل‌ضرب را به‌صورت زیر به‌دست می‌آوریم:

$$\frac{۳}{۴}\times <!--\; \times \; -->۲=\frac{۳}{۴}\times <!--\; \times \; -->\frac{۲}{۱}=\frac{۳\times <!--\; \times \; -->۲}{۴\times <!--\; \times \; -->۱}=\frac{۶}{۴}$$

کسر به‌دست‌آمده را می‌توان به‌شکل زیر ساده کرد و به‌شکل عدد مخلوط نوشت:

$$\frac{۶}{۴}=\frac{۶÷<!--\; ÷\; -->۲}{۴÷<!--\; ÷\; -->۲}=\frac{۳}{۲}=\frac{۲+۱}{۲}=\frac{۲}{۲}+\frac{۱}{۲}=۱+\frac{۱}{۲}=۱\frac{۱}{۲}$$

ضرب کسر در عدد با شکل

می‌خواهیم حاصل را با رسم شکل نشان دهیم. برای این کار، ابتدا به‌اندازه عدد کامل تعدادی شکل یکسان رسم می‌کنیم. در این مثال، عدد کامل ۴ است و باید ۴ شکل رسم کرد. پس از رسم شکل‌ها به مخرج کسر توجه می‌کنیم. در اینجا چون مخرج مساوی ۳ است، هر کدام از شکل‌ها را به ۳ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم. حالا باید هر کدام از ۴ شکل را با رنگ کردن تعیین کنیم.

در مرحله آخر، تعداد خانه‌های رنگ‌شده را می‌شماریم. تعداد این خانه‌ها ۴ تا است. با توجه به اینکه هر کدام از خانه‌ها معادل هستند، مقدار حاصل برابر با خواهد بود.

ضرب کسر در عدد با محور 

ضرب را در نظر بگیرید. این عبارت را می‌خوانیم از ۵. برای نشان دادن حاصل این ضرب روی محور اعداد، باید ابتدا محور را به ۵ واحد مساوی تقسیم کنیم. سپس، هر واحد را با توجه به مقدار مخرج به قسمت‌های مساوی تقسیم می‌کنیم. در اینجا مخرج ۳ است. بنابراین، باید هر کدام از واحدها به ۳ قسمت مساوی تقسیم شوند.

اگر هر کدام از ۵ واحد به ۳ قسمت مساوی تقسیم شوند، ۱۵ واحد کوچک خواهیم داشت. اکنون این ۱۵ واحد کوچک را جدا می‌کنیم. برای نشان دادن دوسوم ۱۵ باید ۱۵ را مانند تصویر زیر با استفاده از کمان به ۳ قسمت مساوی (۳ تا کمان ۵ تایی) تقسیم کرده و سپس، آن را جدا کنیم. همان‌طور که می‌بینید، دوسوم ۱۵، برابر با ۱۰ واحد کوچک است. بنابراین، حاصل‌ضرب مساوی با خواهد بود.

نمونه سؤال ضرب کسرها

سؤال ۱: حاصل را به‌دست آورید.

جواب: برای تعیین حاصل این عبارت، کافی‌ست صورت‌ها و مخرج‌ها را به‌شکل زیر جداگانه در هم ضرب کنیم:

$$\frac{۵}{۲}\times <!--\; \times \; -->\frac{۳}{۱۱}=\frac{۵\times <!--\; \times \; -->۳}{۲\times <!--\; \times \; -->۱۱}=\frac{۱۵}{۲۲}$$

سؤال ۲: حاصل عبارت را تعیین کنید.

جواب: ابتدا مخرج عدد صحیح یعنی ۸ را ۱ قرار می‌دهیم و سپس مانند سؤال قبل، عمل ضرب را انجام می‌دهیم.

$$\frac{۷}{۹}\times <!--\; \times \; -->۸\times <!--\; \times \; -->\frac{۱}{۱۰}=\frac{۷}{۹}\times <!--\; \times \; -->\frac{۸}{۱}\times <!--\; \times \; -->\frac{۱}{۱۰}=\frac{۷\times <!--\; \times \; -->۸\times <!--\; \times \; -->۱}{۹\times <!--\; \times \; -->۱\times <!--\; \times \; -->۱۰}=\frac{۵۶}{۹۰}$$

حاصل این عبارت رحاصل این عبارت را می‌توان به‌صورت زیر ساده کرد:

$$\frac{۵۶}{۹۰}=\frac{۵۶÷<!--\; ÷\; -->۲}{۹۰÷<!--\; ÷\; -->۲}=\frac{۲۸}{۴۵}$$

سؤال ۳: عبارت را محاسبه کنید.

جواب: برای به‌دست آوردن حاصل عبارت داده‌شده، ابتدا باید اعداد مخلوط را به کسر تبدیل کنیم.

$$۳\frac{۲}{۵}=\frac{۳\times <!--\; \times \; -->۵+۲}{۵}=\frac{۱۷}{۱۵}$$ $$۲\frac{۱}{۴}=\frac{۲\times <!--\; \times \; -->۴+۱}{۵}=\frac{۹}{۴}$$

اکنون می‌توانیم کسرها در هم ضرب کنیم.

$$\frac{۱۷}{۹}\times <!--\; \times \; -->\frac{۹}{۴}=\frac{۱۵۳}{۲۰}$$

سخن پایانی

در این آموزش، با ضرب کسرها آشنا شدیم و گفتیم که برای به‌دست آوردن حاصل‌ضرب کسرها کافی‌ست صورت‌ها را جدا و مخرج‌ها را نیز جداگانه در هم ضرب کنیم. همچنین، این نکته را یادآوری کردیم که قاعده ضرب کسرها با مخرج مساوی یا نامساوی یکسان است و هیچ تفاوتی با همدیگر ندارند. در ادامه نیز برای درک بهتر فرایند محاسبه ضرب کسر در کسر، عدد در کسر و کسر در عدد، از روش رسم شکل و محور اعداد استفاده کردیم.

به‌کار بردن این روش‌ها شما را با مفهوم ضرب کسر آشنا می‌کند. پیشنهاد می‌کنیم برای تسلط بیشتر بر این مطلب، به حل تمرین‌ها و مثال‌های بیشتری بپردازید.