آموزش ضرب و تقسیم کسرها با مثال های تصویری

زمانی که برای پخت یک کیک نصف فنجان شکر لازم است، اما می‌خواهید مقدار مواد را دو برابر کنید یا هنگامی که قصد دارید یک پیتزا را به‌طور مساوی بین دوستانتان تقسیم کنید، ضرب و تقسیم کسرها است که به کارتان می‌آید. این کارهای روزمره ساده نشان می‌دهند که آشنایی با قوانین محاسبات در کسرها تا چه اندازه می‌تواند کاربردی باشد. در این مقاله، سعی می‌کنیم با حل مثال‌های متنوع نحوه محاسبه ضرب و تقسیم در کسرها را آموزش دهیم.

ضرب کسرها

اگر دو یا چند عدد کسری داشته باشیم که در یکدیگر ضرب شده‌اند، برای محاسبه حاصل‌ضرب آن‌ها کافی‌ست مراحل زیر را انجام دهید:

• صورت‌ها را در هم ضرب کنید و پاسخ آن را در صورت کسر جدید قرار دهید.
• مخرج‌ها را نیز در هم ضرب کنید و جواب آن را در مخرج کسر حاصل بنویسید.
• کسر به‌دست‌آمده را با کمک روش‌های ساده کردن کسرها ساده‌سازی کنید یا به‌صورت عدد مخلوط بنویسید.

به‌عنوان مثال، اگر بخواهیم دو کسر و  را در هم ضرب کنیم، مطابق مراحلی که در تصویر زیر نشان داده شده است پیش می‌رویم.

گاهی اوقات ممکن است یک عدد صحیح در کسر یا یک کسر در عدد صحیح ضرب شود. در این حالت، برای انجام عمل ضرب ابتدا با قرار دادن مخرج ۱ برای عدد صحیح، آن را به کسر تبدیل می‌کنیم و سپس، مطابق مراحلی که بیان کردیم، حاصل‌ضرب را به‌دست می‌آوریم. 

به مثالی که در تصویر زیر آورده شده است توجه کنید. همان‌طور که می‌بینید ابتدا مخرج عدد صحیح را ۱ قرار داده‌ایم، سپس کسرها را در یکدیگر ضرب کرده‌ایم.

تقسیم کسرها

اگر بخواهیم دو عدد کسری را بر همدیگر تقسیم کنیم، مطابق مراحل زیر عمل می‌کنیم:

• علامت÷ را به علامت × تغییر می‌دهیم.
• کسر دوم یعنی مقسوم‌علیه را وارونه می‌کنیم.
• صورت کسر اول را در صورت کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب می‌کنیم.
• در آخر، کسر حاصل را تا جای ممکن ساده می‌کنیم.

فرض کنید می‌خواهیم عبارت را محاسبه کنیم. برای این کار کافی‌ست مطابق با مراحلی که گفتیم پیش برویم. تصویر زیر مراحل محاسبه را به‌خوبی نشان می‌دهد.

اگر مقسوم یا مقسوم‌علیه عدد صحیح یا عدد مخلوط باشد، مانند عمل ضرب ابتدا آن‌ها را به کسر تبدیل کرده و سپس، عمل تقسیم را انجام می‌دهیم.

تا اینجا سعی کردیم قواعد ضرب و تقسیم کسرها را به شما آموزش دهیم. پیشنهاد می‌کنیم برای یادگیری عمیق‌تر سری هم به مقاله‌های ضرب کسرها و تقسیم کسرها بزنید. در آنجا به‌طور مفصل به آموزش ضرب و تقسیم کسرها با شکل و محور پرداخته‌ایم.

نمونه سؤال ضرب و تقسیم کسرها با جواب

برای اینکه با نحوه محاسبه ضرب و تقسیم کسرها در عبارت‌های مختلف آشنا شوید، در این بخش، چند مثال از ضرب کسر و چند نمونه تقسیم کسر با جواب را آورده‌ایم.

سؤال ۱: اگر بخواهیم ک پیتزا را بین ۸ نفر تقسیم کنیم، به هر کدام از ۸ نفر چه مقدار پیتزا می‌رسد؟
جواب: برای اینکه بدانیم هر نفر چه مقدار پیتزا دریافت می‌کند، کافی‌ست را بر ۸ تقسیم کنیم:

$$\frac{۲}{۳}÷<!--\; ÷\; -->۸$$

مخرج ۸ را ۱ قرار می‌دهیم و با تبدیل علامت تقسیم به ضرب و معکوس کردن کسر دوم حاصل این عبارت را به‌دست می‌آوریم. خواهیم داشت:

$$\frac{۲}{۳}÷<!--\; ÷\; -->۸=\frac{۲}{۳}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۸}{۱}=\frac{۲}{۳}\times <!--\; \times \; -->\frac{۱}{۸}=\frac{۲\times <!--\; \times \; -->۱}{۳\times <!--\; \times \; -->۸}=\frac{۲}{۲۴}$$

کسر حاصل را می‌توانیم ساده کنیم و به‌صورت زیر بنویسیم:

$$\frac{۲}{۲۴}=\frac{۲÷<!--\; ÷\; -->۲}{۲۴÷<!--\; ÷\; -->۲}=\frac{۱}{۱۲}$$

بنابراین، هر نفر از مقدار پیتزا را دریافت می‌کند.

سؤال ۲: عدد ۶ چقدر است؟

جواب:عدد ۶ یعنی ضربدر ۶. پس باید حاصل ضرب زیر را تعیین کنیم:

$$\frac{۵}{۱۲}\times <!--\; \times \; -->۶$$

عدد ۶ را به کسر تبدیل کرده و سپس کسرها را در یکدیگر ضرب می‌کنیم:

$$\frac{۵}{۱۲}\times <!--\; \times \; -->۶=\frac{۵}{۱۲}\times <!--\; \times \; -->\frac{۶}{۱}=\frac{۵\times <!--\; \times \; -->۶}{۱۲\times <!--\; \times \; -->۱}=\frac{۳۰}{۱۲}$$

ازآنجا که حاصل‌ضرب، یک کسر بزرگ‌تر از واحد است، کسر را ساده‌تر کرده و به‌صورت عدد مخلوط می‌نویسیم:

$$\frac{۳۰}{۱۲}=\frac{۳۰÷<!--\; ÷\; -->۶}{۱۲÷<!--\; ÷\; -->۶}=\frac{۵}{۲}$$ $$\frac{۵}{۲}=\frac{۴+۱}{۲}=\frac{۴}{۲}+\frac{۱}{۲}=۲+\frac{۱}{۲}=۲\frac{۱}{۲}$$

درنتیجه داریم:

$$\frac{۵}{۱۲}\times <!--\; \times \; -->۶=۲\frac{۱}{۲}$$

سؤال ۳: حاصل عبارت زیر را تعیین کنید.

$$۳\frac{۱}{۲}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۱}{۴}$$

جواب: در عبارت داده‌شده یک عدد مخلوط داریم. پس باید ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنیم:

$$۳\frac{۱}{۲}=\frac{۳\times <!--\; \times \; -->۲+۱}{۲}=\frac{۷}{۲}$$

اکنون دو کسر داریم و می‌توانیم حاصل تقسیم آن‌ها را به‌راحتی محاسبه کنیم.

$$۳\frac{۱}{۲}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۱}{۴}=\frac{۷}{۲}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۱}{۴}=\frac{۷}{۲}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۱}{۴}=\frac{۷}{۲}\times <!--\; \times \; -->\frac{۴}{۱}=\frac{۷\times <!--\; \times \; -->۴}{۲\times <!--\; \times \; -->۱}=\frac{۲۸}{۲}=۱۴$$

حالا می‌توان حاصل کل عبارت را محاسبه کرد. علامت تقسیم را به علامت ضرب تغییر می‌دهیم و کسر دوم را وارونه می‌کنیم.

سؤال ۴: عبارت زیر را محاسبه کنید.

$$(\frac{۴}{۹}\times <!--\; \times \; -->۳\times <!--\; \times \; -->۷\frac{۳}{۵})÷<!--\; ÷\; -->\frac{۱۱}{۵}$$

جواب: ابتدا عبارت داخل پرانتز را محاسبه می‌کنیم. عدد مخلوط و عدد صحیح را به کسر تبدیل کرده و پس از آن حاصل‌ضرب کسرها را به‌دست می‌آوریم.

$$۷\frac{۳}{۵}=\frac{۷\times <!--\; \times \; -->۵+۳}{۵}=\frac{۳۸}{۵}$$ $$\frac{۴}{۹}\times <!--\; \times \; -->۳\times <!--\; \times \; -->۷\frac{۳}{۵}=\frac{۴}{۹}\times <!--\; \times \; -->\frac{۳}{۱}\times <!--\; \times \; -->\frac{۳۸}{۵}=\frac{۴\times <!--\; \times \; -->۳\times <!--\; \times \; -->۳۸}{۹\times <!--\; \times \; -->۱\times <!--\; \times \; -->۵}=\frac{۴\times <!--\; \times \; -->۱\times <!--\; \times \; -->۳۸}{۳\times <!--\; \times \; -->۱\times <!--\; \times \; -->۵}=\frac{۱۵۲}{۱۵}$$

حالا می‌توان حاصل کل عبارت را محاسبه کرد. علامت تقسیم را به علامت ضرب تغییر می‌دهیم و کسر دوم را وارونه می‌کنیم.

$$\frac{۱۵۲}{۱۵}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۱۱}{۵}=\frac{۱۵۲}{۱۵}\times <!--\; \times \; -->\frac{۵}{۱۱}=\frac{۱۵۲\times <!--\; \times \; -->۵}{۱۵\times <!--\; \times \; -->۱۱}=\frac{۱۵۲\times <!--\; \times \; -->۱}{۳\times <!--\; \times \; -->۱۱}=\frac{۱۵۲}{۳۳}$$

سخن پایانی

در این آموزش، با نحوه محاسبه ضرب و تقسیم کسرها آشنا شدیم و مراحل انجام آن را فرا گرفتیم. برای ضرب کردن کسرها کافی‌ست صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را نیز جداگانه در یکدیگر ضرب کنیم. در عمل تقسیم نیز از عمل ضرب استفاده می‌کنیم. به این صورت که کسر اول را بدون تغییر نگه می‌داریم، علامت تقسیم را به ضرب تبدیل کرده و سپس، کسر دوم که مقسوم‌علیه است را وارونه می‌کنیم یعنی جای صورت و مخرج آن را عوض می‌کنیم. درنهایت دو کسر خواهیم داشت که باید در هم ضرب شوند. اگر می‌خواهید در انجام محاسبات ضرب و تقسیم کسرها تسلط کافی داشته باشید، توصیه می‌کنیم مسائل و تمرین‌های بیشتری در این زمینه حل کنید.