گاهی اوقات برای اینکه مشخص شود آیا باقی‌مانده تقسیم یک عدد بر عدد دیگر صفر است یا به‌عبارتی، برای اینکه تعیین شود آیا یک عدد بر عدد دیگر بخشپذیر است یا نه، آنها را بر هم تقسیم می‌کنیم. این روش اگرچه درست است، اما طولانی و وقت‌گیر به نظر می‌رسد. به همین منظور، در این مقاله قصد داریم با تعریف بخش پذیری اعداد و قوانین مربوط به آن، قواعدی را به شما بیاموزیم که با کمک آن بتوانید بخشپذیری یک عدد بر اعداد مختلف را به‌راحتی تشخیص دهید.
بخش پذیری چیست؟
منظور از بخشپذیری قابل قسمت بودن یک عدد بر عددی دیگر است، به‌گونه‌ای که اگر یک عدد بر عدد دیگر تقسیم شود، حاصل آن یک عدد صحیح و باقی‌مانده‌اش نیز صفر باشد. به‌عنوان مثال، عدد ۱۰ بر ۲ بخشپذیر است چون حاصل تقسیم ۱۰ بر ۲ برابر با ۵ (عددی صحیح) و باقی‌مانده آن نیز صفر است، اما اگر همین عدد ۱۰ را بر ۴ تقسیم کنیم، حاصل آن مساوی با ۲/۵ خواهد بود و به همین دلیل، می‌گوییم ۱۰ بر ۴ بخشپذیر نیست.
۱۰ ÷ ۴ = ۲/۵
۱۰ ÷ ۲ = ۵
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیه‌های مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر می‌شود!
قواعد بخش پذیری
قانون بخشپذیری نوعی میان‌بر است که به ما کمک می‌کند تا بدون انجام فرایند تقسیم طولانی، تشخیص دهیم که آیا یک عدد معین بر یک عدد دیگر بخشپذیر است یا خیر. درواقع، با کمک قواعد بخشپذیری میتوانیم بخشپذیری یک عدد بر اعداد دیگر را براساس رقم‌های آن عدد تعیین کنیم. در ادامه، قواعد بخشپذیری بر اعداد ۱ تا ۲۰ را با مثال بیان خواهیم کرد.
اعداد بخش پذیر بر ۱
تمام اعداد بر یک بخشپذیر هستند و حاصل تقسیم هر عدد بر یک همان عدد خواهد بود.
۵ ÷ ۱ = ۵
۲۶ ÷ ۱ = ۲۶
اعداد بخش پذیر بر ۲
تمام اعداد زوج یعنی اعدادی که رقم یکان آنها ۰، ۲، ۴، ۶ و ۸ است، بر ۲ بخشپذیرند.
۱۴ ÷ ۲= ۷
۳۵۰ ÷ ۲ = ۱۷۵
عداد بخش پذیر بر ۳
اگر مجموع رقم‌های یک عدد بر ۳ بخشپذیر باشد، خود آن عدد نیز بر ۳ بخشپذیر است. به‌عنوان مثال، عدد ۴۳۵ را در نظر بگیرید. برای اینکه مشخص کنیم این عدد بر ۳ بخشپذیر است یا نه، هر سه رقم آن را به‌صورت زیر با هم جمع می‌کنیم.
۴ + ۳ + ۵ =۱۲
ازآنجا که مجموع رقم‌های ۴۳۵ برابر با ۱۲ و بر ۳ بخشپذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که خود عدد ۴۳۵ نیز بر ۳ بخشپذیر است.
۴۳۵ ÷ ۳ = ۱۴۵
نکته: اگر مجموع ارقام عدد موردنظر عددی بزرگ بود، می‌توانید همین مراحل را مجدد تکرار کنید، یعنی ارقامِ همان حاصل‌جمع را با هم جمع کنید تا بخشپذیری آن بر ۳ را بتوانید تشخیص دهید.
اعداد بخش پذیر بر ۴
عددی که دو رقم آخر آن از دو صفر (۰۰) تشکیل شده باشد یا دو رقم آخر آن بر ۴ بخشپذیر باشد، بر ۴ بخشپذیر خواهد بود. برای مثال، در عدد ۹۳۲۰ دو رقم آخر ۲۰ است و چون عدد ۲۰ بر ۴ بخشپذیر است، عدد چهاررقمی ۹۳۲۰ نیز بر ۴ بخشپذیر خواهد بود. همچنین، اعدادی مانند ۵۰۰ و ۱۷۰۰۰ که دو رقم آخر آنها برابر با صفر است نیز بر ۴ بخشپذیر هستند.
۹۳۲۰ ÷ ۴ = ۲۳۳۰
۵۰۰ ÷ ۴ = ۱۲۵
۱۷۰۰۰÷ ۴ = ۴۲۵۰
اعداد بخش پذیر بر ۵
اعدادی که رقم یکان آنها صفر یا ۵ است، بر ۵ بخشپذیرند. برای مثال، اعداد ۵۵ و ۳۵۷۹۰ بر ۵ بخشپذیر هستند.
اعداد بخش پذیر بر ۶
اگر عددی بر ۲ و ۳ بخشپذیر باشد، بر ۶ نیز بخشپذیر است. به‌عنوان مثال، عدد ۳۶۰ عددی است که بر ۶ بخشپذیر است، زیرا هم عددی زوج است و بر ۲ بخشپذیر است و هم مجموع رقم‌های آن یعنی ۹ =۰ +۶ + ۳ بر ۳ بخشپذیر است.
بخش پذیری اعداد بر ۷
برای درک بهتر، قاعده بخش پذیری اعداد بر ۷ را با یک مثال توضیح می‌دهیم. فرض کنید می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا عدد ۹۰۵ بر ۷ بخشپذیر است یا خیر. برای بررسی بخشپذیر بودن این عدد بر ۷ باید مراحل زیر را انجام دهیم:
- مرحله ۱: رقم یکان را در ۲ ضرب می‌کنیم. در اینجا رقم یکان ۵ است. بنابراین، خواهیم داشت:
۵ × ۲ = ۱۰
- مرحله ۲: پاسخ به‌دست‌آمده در مرحله اول را از بقیه عدد کم می‌کنیم. منظور از بقیه عدد سایر رقم‌های آن عدد به‌جز رقم یکان است. در این مثال، اگر یکان ۹۰۵ را حذف کنیم عدد ۹۰ باقی می‌ماند.
۹۰ – ۱۰ = ۸۰
- مرحله ۳: اگر جواب حاصل در مرحله قبل صفر یا مضرب ۷ باشد، عدد اصلی نیز بر ۷ بخشپذیر است. با توجه به اینکه مقدار حاصل برابر با ۸۰ است و این عدد بر ۷ بخشپذیر نیست عدد ۹۰۵ هم بر ۷ بخشپذیر نخواهد بود.
اگر عدد موردنظر یک عدد بزرگ باشد، مراحل بالا را مجدداْ تکرار می‌کنیم. مثلاْ بخشپذیری عدد ۳۷۹۶۱ بر ۷ را به‌صورت زیر مورد بررسی قرار می‌دهیم:
- رقم یکان را در ۲ ضرب می‌کنیم (۲= ۱ ×۲).
- دو برابر یکان را از باقی عدد کم می‌کنیم (۳۷۹۴ = ۱ – ۳۷۹۶).
- عدد به‌دست‌آمده هنوز بزرگ است. بنابراین، مراحل را تکرار می‌کنیم.
- رقم یکان ۳۷۹۴ را در ۲ ضرب می‌کنیم (۸ = ۲ × ۲).
- مقدار حاصل را از بقیه عدد کم می‌کنیم (۳۷۱ = ۸ – ۳۷۹).
- باز هم عدد بزرگ است. دوباره مراحل را تکرار می‌کنیم تا یک عدد دورقمی به‌دست آید.
- یکان ۳۷۱ را در ۲ ضرب می‌کنیم ( ۲ = ۲ × ۲ ).
- ۲ را از باقی عدد کم می‌کنیم (۳۵ = ۲ – ۳۷).
- مقدار حاصل یعنی ۳۵ مضرب ۷ و یا به‌عبارتی، بر ۷ بخشپذیر است.
ازاین‌رو، عدد اصلی یعنی ۳۷۹۶۱ نیز بر ۷ بخشپذیر خواهد بود.
بخش پذیری بر ۸
اگر سه رقم آخر عددی صفر باشد (۰۰۰) یا سه رقم آخر آن بر ۸ بخشپذیر باشد، آنگاه آن عدد بر ۸ بخشپذیر خواهد بود. به‌عنوان نمونه، عدد ۴۱۷۶ بر ۸ بخشپذیر است چون سه رقم آخر آن یعنی ۱۷۶ بر عدد ۸ بخشپذیر می‌باشد
(۲۲ = ۸ ÷ ۱۷۶ ). همچنین، عدد ۱۳۰۰۰۰ که سه رقم آخر آن صفر است نیز بر ۸ بخشپذیر است.
بخش پذیری بر ۹
عددی بر ۹ بخشپذیر است که مجموع ارقام آن مضرب ۹ یا به‌عبارتی، بر ۹ بخشپذیر باشد. عدد ۱۸۹ را در نظر بگیرید. مجموع ارقام این عدد مساوی با ۱۸= ۱+ ۸ + ۱ است. ازآنجا که ۱۸ بر ۹ بخشپذیر است، ۱۸۹ نیز بر ۹ بخشپذیر خواهد بود.
نکته: توجه داشته باشید که اگر مجموع ارقام عدد موردنظر عددی بزرگ باشد، می‌توانید همین فرایند را دوباره تکرار کنید یعنی ارقامِ همان حاصل‌جمع را با هم جمع بزنید تا بخشپذیری آن بر ۹ مشخص شود.
بخش پذیری بر ۱۰
هر عددی که رقم یکان آن صفر باشد بر ۱۰ بخشپذیر است، مانند ۱۰، ۳۰، ۷۰، ۸۰۰۰ ،۱۲۶۰، ۹۷۰ و غیره.
بخش پذیری بر ۱۱
برای تشخیص بخشپذیری یک عدد بر ۱۱ رقم‌های آن عدد را یک‌درمیان جمع و کم می‌کنیم. درصورتی که عدد به‌دست‌آمده بر ۱۱ بخشپذیر باشد، عدد اصلی نیز بر ۱۱ بخشپذیر خواهد بود. به‌عنوان مثال، برای تعیین بخشپذیری اعداد ۲۸۴۶۷۶۷ و ۶۱۸۰۹ بر ۷ رقم‌های آنها را به‌صورت زیر یک‌درمیان جمع و کم می‌کنیم:
۲۸۴۶۷۶۷۲→ ۸ + ۴ – ۶ + ۷ – ۶ + ۷ = ۲۰ – ۲۰ = ۰
۶۱۸۰۹۶→ ۱ + ۸ – ۰ + ۹ = ۲۳ – ۱ = ۲۲
مقادیر حاصل بر ۱۱ بخشپذیرند. بنابراین، هر دو عدد موردنظر نیز بر ۱۱ بخشپذیر خواهند بود.
روش دیگری نیز برای بررسی بخشپذیری بر ۱۱ وجود دارد. در این روش، رقم آخر یعنی یکان را از باقی عدد کم می‌کنیم. اگر مقدار حاصل بر ۱۱ بخشپذیر بود، عدد اصلی هم بر ۱۱ بخشپذیر است. این فرایند را میتوانیم تا جایی تکرار کنیم که یک عدد دورقمی داشته باشیم و تشخیص بخشپذیری برایمان راحت‌تر باشد.
به این مثال توجه کنید. می‌خواهیم ببینیم آیا عدد ۱۷۴۹ بر ۱۱ بخشپذیر است یا خیر. با توجه به آنچه بیان کردیم، رقم یکان را از بقیه عدد کم می‌کنیم و تا جایی که بتوانیم بخشپذیری را تعیین کنیم پیش می‌رویم.
۱۷۴ – ۹ =۱۶۵
۱۶ – ۵ = ۱۱
همان‌طور که دیدید، مقدار به‌دست‌آمده بر ۱۱ بخشپذیر است، درنتیجه عدد ۱۷۴۹ هم بر ۱۱ بخشپذیر خواهد بود.
بخش پذیری بر ۱۲
اگر عددی بر ۳ و ۴ بخشپذیر باشد، بر ۱۲ نیز بخشپذیر است. فرض کنید می‌خواهیم ببینیم آیا ۴۸۸۰ بر ۱۲ بخشپذیر است یا نه. ابتدا بخشپذیر بودن این عدد را بر ۳ بررسی می‌کنیم. برای این کار کافی‌ست ارقام عدد را با هم جمع کنیم.
۴ + ۸ + ۸ + ۰ = ۲۰
عدد ۲۰ بر ۳ بخشپذیر نیست.
اکنون بخشپذیری بر ۴ را بررسی می‌کنیم. همان‌طور که قبلاً هم گفتیم، عددی که دو رقم آخر آن مضرب ۴ باشد بر ۴ بخشپذیر است. در اینجا دو رقم آخر ۸۰ و بر ۴ بخشپذیر است. بنابراین، نتیجه می‌گیریم که عدد ۴۸۸۰ نیز بر ۴ بخشپذیر است. با توجه به اینکه عدد موردنظر شرط بخشپذیری بر ۱۲ را برآورده نمی‌کند، می‌توان گفت ۴۸۸۰ بر ۱۲ بخشپذیر نیست.
بخش پذیری بر ۱۳
برای تعیین بخشپذیر بودن یک عدد بر ۱۳، چهار برابر رقم یکان آن عدد را با باقی عدد جمع می‌زنیم و این کار را تا جایی تکرار می‌کنیم که یک عدد دورقمی به‌دست آوریم. اگر آن عدد دورقمی بر ۱۳ بخشپذیر بود، عدد اصلی نیز بر ۱۳ بخشپذیر است.
مثال: آیا عدد ۴۱۸۶ بر ۱۳ بخشپذیر است؟
طبق توضیحاتی که داده شد، چهار برابر رقم آخر عدد را با بقیه عدد جمع می‌زنیم و این فرایند را تکرار می‌کنیم تا یک عدد دورقمی حاصل شود. خواهیم داشت:
۴۱۸ +( ۴ × ۶ )= ۴۱۸ + ۲۴ = ۴۴۲
۴۴ + ( ۴× ۲ )= ۴۴ + ۸ = ۵۲
۵۲÷ ۱۳ = ۴
۵۲ بر ۱۳ بخشپذیر است، ازاین‌رو ۴۱۸۶ هم بر ۱۳ بخشپذیر خواهد بود.
بخش پذیری بر ۱۴
عددی بر ۱۴ بخشپذیر است که بر ۲ و ۷ بخشپذیر باشد. برای مثال، عدد ۱۷۶۴ بر ۱۴ بخشپذیر است، زیرا
۱۷۶۴ ÷ ۲ = ۸۸۲
۱۷۶۴ ÷ ۷ = ۲۵۲
بخش پذیری بر ۱۵
اگر عددی هم بر ۳ و هم بر ۵ بخشپذیر باشد بر ۱۵ نیز بخشپذیر است.
مثال: آیا عدد ۸۴۹۶۳۳۲۵ بر ۱۵ بخشپذیر است؟
رقم یکان عدد داده‌شده ۵ است. بنابراین، این عدد بر ۵ بخشپذیر خواهد بود. برای تعیین بخشپذیری بر ۳ کافی‌ست رقم‌های عدد را با هم جمع کنیم. خواهیم داشت:
۸ + ۴ + ۹ + ۶ + ۳ + ۳ + ۲ + ۵ = ۴۰
عدد ۴۰ بر ۳ بخشپذیر نیست، پس عدد هشت‌رقمی بالا نیز بر ۱۵ بخشپذیر نخواهد بود.
بخش پذیری بر ۱۶
برای بررسی بخشپذیری یک عدد بر ۱۶ می‌توان از دو روش استفاده کرد:
- روش اول: اگر رقم هزارگان عددی زوج و سه رقم آخر آن بر ۱۶ بخشپذیر باشد، آنگاه عدد موردنظر بر ۱۶ بخشپذیر است، مانند عدد ۱۲۶۳۲۰ که رقم هزارگان آن زوج و سه رقم آخر آن برابر با ۳۲۰ و بر ۱۶ بخشپذیر است.
- روش دوم: اگر رقم هزارگان عددی فرد باشد، سه رقم آخر را به‌اضافه ۸ می‌کنیم. درصورتی که مقدار حاصل بر ۱۶ بخشپذیر باشد، عدد اولیه هم بر ۱۶ بخشپذیر است. عدد ۲۲۳۴۹۷ را در نظر بگیرید. رقم هزارگان این عدد فرد است و حاصل‌جمع سه رقم آخر آن و ۸ برابر با ۵۰۵ = ۸ + ۴۹۷ است. عدد ۵۰۵ بر ۱۶ بخشپذیر نیست. درنتیجه عدد اصلی هم بر ۱۶ بخشپذیر نخواهد بود.
بخش پذیری بر ۱۷
برای اینکه تشخیص دهیم آیا یک عدد بر ۱۷ بخشپذیر است یا خیر، ابتدا رقم یکان را در ۵ ضرب کرده و سپس، حاصل‌ضرب را از باقی عدد کم می‌کنیم. اگر مقدار حاصل بر ۱۷ بخشپذیر باشد، آنگاه عدد اصلی نیز بر ۱۷ بخشپذیر است. برای درک بهتر، این فرایند را برای عدد ۹۸۶ انجام می‌دهیم.
۶ × ۵ = ۳۰
۹۸ – ۳۰ = ۶۸
۶۸ ÷ ۱۷ = ۴
همان‌طور که می‌بینید، مقدار حاصل بر ۱۷ بخشپذیر است. این یعنی اینکه عدد ۹۸۶ هم بر ۱۷ بخشپذیر است.
بخش پذیری بر ۱۸
عددی بر ۱۸ بخشپذیر است که بر ۲ و ۹ بخشپذیر باشد. مثلاً عدد ۷۱۱۰ علاوه‌بر اینکه یک عدد زوج و بر ۲ بخشپذیر است، مجموع ارقامش(۹ = ۱ + ۰ + ۱ + ۷ ) نیز بر ۹ بخشپذیر است. ازاین‌رو، این عدد بر ۱۸ هم بخشپذیر خواهد بود.
بخش پذیری بر ۱۹
اگر بخواهیم بخشپذیری یک عدد را بر ۱۹ بررسی کنیم، ابتدا رقم یکان را در ۲ ضرب کرده و با باقی عدد جمع می‌زنیم. اگر حاصل‌جمع بر ۱۹ بخشپذیر بود، آنگاه عدد اولیه هم بر ۱۹ بخشپذیر است. به‌عنوان مثال، برای تشخیص بخشپذیری عدد .۱۲۳۵ بر ۱۹ به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:
۵ × ۲ = ۱۰
۱۲۳ + ۱۰ = ۱۳۳
۱۳۳ ÷ ۱۹ = ۷
بنابراین، عدد ۱۲۳۵ بر ۱۹ بخشپذیر است.
بخش پذیری بر ۲۰
عددی بر ۲۰ بخشپذیر است که رقم یکان آن صفر و رقم دهگان آن زوج باشد. برای مثال، عدد ۳۴۵۴۶۰ بر ۲۰ بخشپذیر است چون رقم یکان آن صفر و رقم دهگان آن یعنی ۶ عددی زوج است.
جدول بخش پذیری اعداد
در این بخش، برای دسترسی سریع و آسان به قواعد بخشپذیری، دو جدول جداگانه تهیه کرده‌ایم که در ادامه آورده شده‌اند.
جدول بخش پذیری اعداد ۱ تا ۱۰
در تصویر زیر، قواعد بخش پذیری اعداد ۱ تا ۱۰ نشان داده شده است.
جدول بخش پذیری اعداد ۱۱ تا ۲۰
تصویر زیر، قواعد بخش پذیری اعداد ۱۱ تا ۲۰ را نشان می‌دهد.
سخن پایانی
در این مقاله، قاعده های بخش پذیری بر اعداد ۱ تا ۲۰ را آموختیم و در کنار توضیح در مورد بخش پذیری اعداد با مثال های کاربردی نحوه تعیین بخشپذیری بر اعداد مختلف را آموزش دادیم. قواعد بخشپذیری قوانینی هستند که به‌کمک آنها میتوانیم تشخیص دهیم آیا یک عدد بر عدد دیگر قابل تقسیم است یا خیر و آیا باقی‌مانده تقسیم این دو عدد برابر با صفر است یا نه. به‌طور کلی، قواعد بخشپذیری در ساده کردن کسرها و بسیاری از محاسبات ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرند و ازاین‌رو، آشنایی با آنها برای انجام آسان و سریع محاسبات ضروری است.
سؤالات متداول
- آیا یک بر همه اعداد بخش پذیر است؟
خیر. عدد یک تنها بر خودش بخشپذیر است. - آیا همه اعداد بر یک بخشپذیرند؟
بله. تمام اعداد بر یک بخشپذیر هستند. - منظور از قواعد بخشپذیری چیست؟
قواعد بخشپذیری قوانینی هستند که با استفاده از آنها میتوانیم تشخیص دهیم که آیا یک عدد بر عدد دیگر بخشپذیر است یا خیر.
