مساحت ذوزنقه چگونه محاسبه می شود؟

ذوزنقه برخلاف دیگر اشکال هندسی مانند مربع، مستطیل، دایره و مثلث، شکل تقریباً نامنظمی دارد. به‌همین دلیل، محاسبه مساحت ذوزنقه برای برخی از دانش‌آموزانی که تازه با آن آشنا می‌شوند می‌تواند چالش‌برانگیز باشد. در این آموزش، سعی داریم علاوه‌بر معرفی ذوزنقه و انواع آن، با حل مثال‌های متعدد این چالش را برای دانش‌آموزان عزیز برطرف کنیم.

پیشنهاد مطالعه: مساحت چیست؟

ذوزنقه چیست؟

«ذوزنقه» (Trapezoid) یک نوع چهارضلعی است که دو ضلع مقابل آن موازی و دو ضلع مقابل دیگر آن غیرموازی هستند. اجزای تشکیل‌دهنده این شکل هندسی عبارت‌اند از

• قاعده: هر یک از دو ضلع موازی
• ساق: اضلاع غیرموازی
• ارتفاع: کوتاه‌ترین فاصله بین قاعده‌ها (پاره‌خط عمود بین آن‌ها)

قطر: ذوزنقه ۲ قطر دارد؛ ۲ پاره‌خط که رأس‌های مقابل را به هم وصل می‌کنند.

انواع ذوزنقه

ذوزنقه براساس شکل ظاهری ساق‌های آن (اضلاع غیرموازی) به ۳ دسته تقسیم می‌شوند:

• ذوزنقه متساوی‌الساقین
• ذوزنقه قائم‌الزاویه
• ذوزنقه مختلف‌الاضلاع

ذوزنقه متساوی الساقین

ذوزنقه متساوی‌الساقین ذوزنقه‌ای است که طول اضلاع غیرموازی (ساق‌های) آن با هم برابر است (آب = ت‌پ). این نوع ذوزنقه، ویژگی‌های دیگری هم دارد که عبارت‌اند از

• زاویه‌هایی که قاعده‌ها با ساق‌ها می‌سازند مساوی است (آ˂=ت˂ و ب˂=پ˂).
• یک خط تقارن دارد.
• طول هر دو قطر با هم برابر است (آپ=ت‌ب).

ذوزنقه قائم الزاویه

اگر یکی از ساق‌های ذوزنقه بر هر دو قاعده عمود باشد، ذوزنقه ۲ زاویه ۹۰ درجه یا قائمه خواهد داشت. به‌همین دلیل، این نوع ذوزنقه را ذوزنقه قائم‌الزاویه می‌گویند.

ذوزنقه مختلف الاضلاع

زمانی که نه اضلاع و نه زاویه‌های ذوزنقه با هم برابر باشند، ذوزنقه را ذوزنقه مختلف‌الاضلاع می‌گوییم. در این نوع ذوزنقه، اگرچه طول اضلاع و مقدار زوایا متفاوت است، اما مانند انواع دیگر ذوزنقه قاعده‌ها با هم موازی‌اند.

مساحت ذوزنقه چیست؟

مساحت ذوزنقه برابر با تعداد مربع‌های واحدی است که می‌توان در آن جا داد. مساحت ذوزنقه با واحدهای مربع اندازه‌گیری می‌شود مانند میلی‌متر مربع، سانتی‌متر مربع، متر مربع و… به‌عنوان مثال، اگر بتوان ۱۵ مربع واحد به‌طول یک سانتی‌متر را در داخل ذوزنقه قرار داد، مساحت آن ۱۵ سانتی‌متر مربع خواهد بود. 

فرمول مساحت ذوزنقه کلاس پنجم

همیشه نمی‌توان با روش مربع واحد مساحت ذوزنقه را به‌دست آورد. برای همین بهتر است از یک فرمول کلی برای محاسبه مساحت استفاده کرد. فرمول مساحت ذوزنقه به‌صورت زیر است.

نکته: فرمول مساحت ذوزنقه متساوی‌الساقین، فرمول مساحت ذوزنقه قائم‌الزاویه و فرمول مساحت ذوزنقه مختلف‌الاضلاع یکسان است و برای محاسبه هر کدام، از فرمول بالا استفاده می‌شود. 

نمونه سوال مساحت ذوزنقه

مثال ۱: یک میز تلویزیون به‌شکل زیر داریم. مساحت قسمتی که شبیه به ذوزنقه است را حساب کنید.

در شکل بالا اندازه قاعده‌ها و ارتفاع میز داده شده است. کافی‌ست آن‌ها را در فرمول مساحت ذوزنقه جای‌گذاری کنیم تا مساحت ذوزنقه به‌دست آید.

ارتفاع ×   ۲ ÷ (بزرگ قاعده +کوچک قاعده) = مساحت ذوزنقه
۲۰ ×   ۲ ÷ (۷۰ + ۹۰ ) = مساحت ذوزنقه
۲۰ ×   ۲ ÷ (۱۶۰) = مساحت ذوزنقه
۱۶۰۰سانتی متر مربع = ۲ ÷ (۸۰) = مساحت ذوزنقه

مثال ۲: اگر مساحت دیواره ظرف زیر ۲۰ سانتی‌متر باشد، ارتفاع دیواره ظرف چقدر است؟

مقدار مساحت ذوزقه و قاعده‌های کوچک و بزرگ را در فرمول مساحت ذوزنقه قرار می‌دهیم.

ارتفاع ×   ۲ ÷ (بزرگ قاعده +کوچک قاعده) = مساحت ذوزنقه
ارتفاع ×   ۲ ÷ (۸ + ۷ ) = ۲۰
ارتفاع ×   ۷/۵ = ۲۰
۲/۶سانتی متر = ۲۰

مثال ۳: مساحت ذوزنقه زیر را بیابید.

:شکل فوق، یک ذوزنقه قائم الزاویه است. پس مساحت آن برابر است با

ارتفاع ×   ۲ ÷ (بزرگ قاعده +کوچک قاعده) = مساحت ذوزنقه
۵ ×   ۲ ÷ (۶ + ۷ ) = مساحت ذوزنقه
۳۲/۵ سانتی متر مربع = ۵ × (۶/۵) = مساحت ذوزنقه

مثال ۴: مساحت ذوزنقه زیر را محاسبه کنید.

شکل بالا از یک مستطیل و یک ذوزنقه متساوی الساقین ساخته شده است، پس برای به‌دست آوردن مساحت کل شکل باید ابتدا مساحت هر کدام را جداگانه حساب کرده و سپس مقادیر حاصل را با هم جمع کنیم.در مقاله مساحت مستطیل، با نحوه محاسبه مساحت این شکل هندسی آشنا شدیم و می‌دانیم که مساحت مستطیل از فرمول زیر به‌دست می‌آید.

عرض ×   طول = مساحت مستطیل
۴۵ سانتی‌متر مربع = ۵ ×   ۹ = مساحت مستطیل
۲۴سانتی متر مربع =۴ × ۲ ÷ (۳ + ۹ ) = مساحت ذوزنقه
مساحت ذوزنقه  +  مساحت مستطیل = مساحت کل شکل
۶۹ سانتی‌متر مربع = ۲۴  +  ۴۵ = مساحت کل شکل

فرمول مساحت ذوزنقه برحسب نمادهای ریاضی

در مقاطع تحصیلی بالاتر، فرمول مساحت ذوزنقه را به‌صورت جبری به‌شکل زیر می‌نویسند.

A= ((a+b) × h) ÷ 2

• A: مساحت ذوزنقه
• a: قاعده کوچک
• b: قاعده بزرگ
• h: ارتفاع ذوزنقه

a+b) ÷2) : میانه مرکزی ذوزنقه (پاره‌خطی که وسط دو ساق را به هم وصل می‌کند و با قاعده‌ها موازی است)

همان‌طور که می‌بینید، ارتفاع ذوزنقه متساوی االساقین مجهول است. پس، برای محاسبه باید ابتدا ارتفاع را تعیین کنیم. برای مشخص کردن ارتفاع ذوزنقه به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

در این شکل، دو مثلث قائم‌الزاویه داریم و می‌توانیم با استفاده از قضیه فیثاغورس اندازه ارتفاع ذوزنقه را که یکی از اضلاع مثلث است به‌دست آوریم.

۵^۲=۴^۲+h^۲
h^۲= ۵^۲ – ۴^۲ = ۲۵ – ۱۶ = ۹
h = ۳

پس ارتفاع ذوزنقه ۳ سانتی‌متر است. حالا با داشتن ارتفاع می‌توانیم به‌راحتی مساحت ذوزنقه را حساب کنیم.

A= ((a+b) × h) ÷ 2
۲۴ =۲ ÷۴۸ =۲ × ۳ (۱۲ + ۴) = A

محاسبه مساحت ذوزنقه آنلاین

محاسبه مساحت ذوزنقه به‌صورت آنلاین هم امکان‌پذیر است. برای این کار کافی‌ست عبارت «مساحت ذوزنقه» یا معادل انگلیسی آن «area of trapezoid» را در گوگل جست‌وجو کنید. پس از جست‌وجو در ابتدای صفحه کادری به‌صورت زیر مشاهده خواهید کرد که همان حسابگر آنلاین مساحت ذوزنقه است.

اکنون می‌توانید مانند شکل زیر با وارد کردن اطلاعات ذوزنقه یعنی اندازه قاعده بزرگ، قاعده کوچک و ارتفاع، مقدار مساحت ذوزنقه را مشاهده کنید.

علاوه‌براین، می‌توانید به سایت  Omini Calculator هم مراجعه کنید. در این سایت، مساحت و محیط اشکال هندسی را می‌توان به‌راحتی و به‌صورت آنلاین محاسبه کرد. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، علاوه‌بر وارد کردن مقادیر، می‌توانید واحد اندازه‌گیری داده‌ها را هم انتخاب کنید.

سخن پایانی

ذوزنقه یکی از اشکال هندسی چهارضلعی است که دو ضلع موازی به‌نام «قاعده ذوزنقه» و دو ضلع غیرموازی به‌نام «ساق ذوزنقه» دارد. این شکل هندسی براساس شکل ظاهری دو ساق به سه نوع تقسیم‌بندی می‌شود: ذوزنقه متساوی‌الساقین، قائم‌الزاویه و مختلف‌الاضلاع. اگر طول دو ساق مساوی باشد، ذوزنقه را متساوی‌الساقین می‌گوییم، اگر یکی از ساق‌ها بر قاعده‌ها عمود باشد، ذوزنقه را قائم‌الزاویه می‌نامیم و اگر هیچ‌کدام از اضلاع و زوایای ذوزنقه با هم برابر نباشند، ذوزنقه مختلف‌الاضلاع را خواهیم داشت. مساحت ذوزنقه از فرمول ««نصف مجموع قاعده‌ها ضربدر ارتفاع» به‌دست می‌آید.

سؤالات متداول

1. ذوزنقه چیست؟
   یک چهارضلعی است که دو ضلع موازی (دو قاعده) و دو ضلع غیرموازی (دو ساق) دارد.
   
3. چند نوع ذوزنقه وجود دارد؟
   ۳ نوع ذوزنقه وجود دارد: ذوزنقه متساوی‌الساقین، ذوزنقه قائم‌الزاویه و ذوزنقه مختلف‌الاضلاع.
   
4. ذوزنقه قائم الزاویه چیست؟
   ذوزنقه‌ای که یکی از ساق‌های آن بر هر دو قاعده عمود باشد.
   
5. ذوزنقه متساوی الساقین چیست؟
   ذوزنقه‌ای که طول هر دو ساق آن با هم برابر است و هر دوی آن‌ها زوایای یکسانی با قاعده‌ها می‌سازند.
   
6. ذوزنقه مختلف‌الاضلاع چیست؟
   ذوزنقه‌ای که هیچ‌کدام از اضلاع و زوایای آن با هم برابر نیست.
   
7. مساحت ذوزنقه چگونه به‌دست می‌آید؟
   مساحت ذوزنقه از فرمول «نصف مجموع قاعده‌ها ضربدر ارتفاع» به‌دست می‌آید.
   
8. فرمول مساحت ذوزنقه به‌صورت جبری چگونه است؟
   فرمول مساحت ذوزنقه به‌صورت جبری A= ((a+b) × h) ÷ 2 است.
   
9. برای محاسبه مساحت ذوزنقه به چه اطلاعاتی نیاز داریم؟
   برای محاسبه مساحت ذوزنقه به اندازه قاعده کوچک و بزرگ و ارتفاع ذوزنقه نیاز داریم.