مساحت منشور چیست؟ ׀ فرمول ها + نمونه سؤال با جواب

منشور یکی از انواع اشکال هندسی چندوجهی سه‌بعدی است. این شکل هندسی دو قاعده چندضلعی مشابه و چند وجه جانبی دارد. وجه‌های جانبی که به آن‌ها سطح جانبی منشور گفته می‌شود، به‌شکل مربع، مستطیل یا متوازی‌الاضلاع هستند و تعدادشان برابر با تعداد اضلاع قاعده است. در این آموزش، می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا می‌توان مفهوم مساحت را برای منشور تعریف کرد و آیا مساحت منشور قابل محاسبه است. اگر پاسخ مثبت است، فرمول محاسبه آن چیست. در ادامه این مطلب به این پرسش‌ها پاسخ خواهیم داد.

 پیشنهاد مطالعه: محیط و مساحت اشکال هندسی

مساحت کل منشور 

مساحت یک مفهوم هندسی است که معمولاً برای اشکال دوبعدی به‌کار می‌رود. اگر بخواهیم این مفهوم را برای شکل‌های سه‌بعدی نیز به‌کار ببریم، باید سطح رویه یا وجه آن‌ها را در نظر بگیریم. بنابراین، برای محاسبه اندازه سطح یا مساحت این اشکال می‌توانیم مساحت وجه‌های آن‌ها را به‌دست آوریم.

منشور نیز به‌عنوان یک شکل سه‌بعدی دارای مساحت است و مقدار آن از مجموع مساحت وجه‌ها تعیین می‌شود. به بیانی دیگر، مساحت کل منشور از مجموع مساحت قاعده‌ها و مساحت وجه‌های جانبی به‌دست می‌آید. 

مساحت جانبی + مساحت قاعده‌ها = مساحت کل منشور

مساحت جانبی منشور

مساحت جانبی منشور برابر است با مجموع مساحت وجه‌های جانبی آن. وجه‌های جانبی وجه‌هایی هستند که بین دو قاعده قرار می‌گیرند. برای درک بهتر سطح جانبی منشور و مساحت آن، شکل گسترده وجه‌های جانبی یک منشور پنج‌پهلو (پنج‌ضلعی) را در تصویر زیر نشان داده‌ایم. همان‌طور که گفتیم، تعداد وجه‌های جانبی برابر با تعداد اضلاع قاعده است. از آنجا که قاعده منشور پنج‌ضلعی است، تعداد وجه‌های جانبی پنج‌تا خواهد بود.

با توجه به این توضیحات می‌توان گفت مساحت جانبی این منشور پنج‌ضلعی از جمع مساحت پنج وجه مستطیلی‌شکل آن به‌دست می‌آید. همچنین، با توجه به اینکه هر پنج وجه مستطیلی با هم برابرند، مساحت جانبی منشور را می‌توان از رابطه زیر محاسبه کرد:

ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی منشور

مساحت قاعده منشور

قاعده‌های منشور، به‌شکل یک چندضلعی هستند. بنابراین، بسته به اینکه شکل قاعده چگونه است، فرمول محاسبه مساحت آن متفاوت خواهد بود. برای مثال، در یک منشور سه‌پهلو قاعده‌ها به‌شکل مثلث هستند و باید از فرمول مساحت مثلث برای محاسبه اندازه سطح آن‌ها استفاده کرد. در بخش بعدی چند نمونه سؤال درمورد تعیین مساحت منشور حل می‌کنیم تا با نحوه محاسبه مساحت این شکل هندسی بیشتر آشنا شوید.

مساحت منشور سه پهلو

فرض کنید یک منشور سه‌پهلو به‌شکل زیر داریم که قاعده‌های آن به‌شکل مثلث قائم‌الزاویه هستند. اگر بخواهیم مساحت این منشور را محاسبه کنیم، با توجه به فرمولی که معرفی کردیم باید ابتدا مساحت قاعده‌ها و مساحت جانبی آن را به‌دست آوریم.

حالا که مقدار مساحت قاعده را مشخص کردیم، سراغ محاسبه مساحت جانبی منشور می‌رویم. برای درک بهتر وجه‌های جانبی، گسترده این منشور را در شکل زیر نشان داده‌ایم. همان‌طور که می‌بینید، سه وجه مستطیلی با ابعاد مختلف داریم و باید با استفاده از فرمول مساحت مستطیل، مساحت هر یک را به‌دست آورده و با هم جمع کنیم.

مساحت مستطیل شماره ۱:

S_۱ = l_۱ w_۱

• مساحت مستطیل اول (S_۱)
• طول مستطیل (l_۱ = ۱۲)
• عرض مستطیل (w_۱ = ۱۰)

S_۱ = ۱۲×۱۰ = ۱۲۰ cm^۲

مساحت مستطیل شماره ۲:

S_۲ = l_۲w_۲

• مساحت مستطیل اول (S_۲)
• طول مستطیل (l_۲ = ۱۳)
• عرض مستطیل (w_۲ = ۱۰)

S_۲ = ۱۳×۱۰ = ۱۳۰ cm²

مساحت مستطیل شماره ۳:

S_۳=l_۳w_۳

• مساحت مستطیل اول (S_۳)
• طول مستطیل (l_۳ = ۵)
• عرض مستطیل (w_۳ = ۱۰)

S۳ = ۵×۱۰ = ۵۰ cm^۲

مساحت سه وجه جانبی را با هم جمع می‌کنیم:

S = S_۱ + S_۲ + S_۳ S = ۱۲۰ + ۱۳۰ + ۵۰ = ۳۰۰ cm^۲

مساحت سه وجه جانبی را با هم جمع می‌کنیم:

S = S_۱ + S_۲ + S_۳
S = ۱۲۰ + ۱۳۰ + ۵۰ = ۳۰۰ cm^۲

برای تعیین مساحت جانبی این منشور، از فرمول مساحت جانبی که روش ساده‌تری است و در بخش‌های قبل آن را معرفی کردیم هم می‌توان استفاده کرد. این فرمول به‌صورت زیر است:

همان‌طور که می‌بینید، پاسخ‌هایی که از هر دو روش به‌دست آمد، یکسان است. حالا که مقدار مساحت قاعده و مساحت جانبی منشور را محاسبه کردیم، آن‌ها را در فرمول مساحت منشور جای‌گذاری می‌کنیم تا مساحت کل این شکل هندسی به‌دست آید.

مساحت جانبی + مساحت دو قاعده = مساحت کل منشور

• مساحت قاعده = ۳۰ سانتی‌متر مربع
• مساحت جانبی = ۳۰۰ سانتی‌متر مربع

۳۶۰ = ۳۰۰ + ۶۰ = ۳۰۰ + ۳۰ × ۲ = مساحت کل منشور

مساحت کل منشور ۳۶۰ سانتی‌متر مربع است.

مساحت منشور شش پهلو

شکل زیر یک منشور شش پهلو را نشان می‌دهد که دارای دو قاعده شش‌ضلعی و شش وجه جانبی مستطیلی یکسان است. برای تعیین مساحت منشور شش ضلعی کافی‌ست مساحت قاعده و مساحت جانبی آن را محاسبه کنیم. از آنجا که قاعده‌ها شش‌ضلعی هستند، باید از فرمول زیر برای تعیین مساحت قاعده استفاده کنیم:

اکنون مطابق با شکل زیر مساحت جانبی منشور را به‌صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

مساحت منشور ذوزنقه

شکل زیر را در نظر بگیرید. می‌خواهیم مساحت این منشور را تعیین کنیم. ابتدا باید مساحت قاعده را به‌دست آوریم. قاعده منشور ذوزنقه‌ای است، پس باید از فرمول مساحت ذوزنقه استفاده کنیم.

• مساحت قاعده ذوزنقه‌ای (A)
• اندازه قاعده کوچک (a = ۸)
• اندازه قاعده بزرگ (b = ۱۸)
• ارتفاع ذوزنقه (h = ۱۲)

$$A=\frac{(۸+۸)\times <!--\; \times \; -->۱۲}{۲}=\frac{(۲۶)\times <!--\; \times \; -->۱۲}{۲}=\frac{۳۱۲}{۲}=۱۵۶c{m}^{۲}$$

برای محاسبه مساحت جانبی منشور باید طبق رابطه زیر محیط قاعده منشور را در ارتفاع آن ضرب کنیم:

اگر مقادیر مساحت قاعده و مساحت جانبی را در فرمول مساحت منشور قرار دهیم، خواهیم داشت:

مساحت جانبی + مساحت دو قاعده = مساحت کل منشور

• مساحت قاعده =  ۱۵۶ سانتی‌متر مربع
• مساحت جانبی = ۱۰۴۰ سانتی‌متر مربع

۱۳۵۲ = ۱۰۴۰ + ۳۱۲ = ۱۰۴۰ + ۱۵۶ × ۲ = مساحت کل منشور

مساحت منشور ذوزنقه‌ای ۱۳۵۲ سانتی‌متر مربع است.

محیط منشور 

محیط منشور برابر است با اندازه دورتادور آن. این مفهوم هندسی متفاوت با مقدار فضای اشغال‌شده منشور یا به‌عبارتی، حجم منشور است. محیط منشور از مجموع طول یال‌ها یا لبه‌های آن محاسبه می‌شود. به‌طور کلی، فرمول محیط منشور به‌صورت زیر است:

(ارتفاع منشور × تعداد اضلاع قاعده) + (محیط قاعده × ۲) = محیط منشور

مثال: محیط منشور مستطیلی زیر را به‌دست آورید.

جواب: طبق فرمول محیط منشور باید ابتدا محیط قاعده را که به‌شکل مستطیل است تعیین کنیم.

• طول = ۷
• عرض = ۲

مقادیر محیط قاعده و ارتفاع و تعداد اضلاع قاعده را در فرمول محیط منشور جای‌گذاری می‌کنیم. داریم:

• محیط قاعده = ۱۸
• ارتفاع منشور = ۱۱
• تعداد اضلاع قاعده = ۴

محیط منشور مستطیلی ۸۰ میلی‌متر است.

سخن پایانی

منشور یک چندوجهی است که مقدار مساحت آن از مجموع مساحت تمام وجه‌های آن به‌دست می‌آید. فرمولی که برای تعیین مساحت این شکل هندسی به‌کار می‌رود برابر با حاصل‌جمع مساحت دو قاعده و مساحت جانبی است. مساحت جانبی منشور از فرمول حاصل‌ضرب محیط قاعده در ارتفاع محاسبه می‌شود، اما برای تعیین مساحت قاعده فرمول خاصی وجود ندارد زیرا قاعده یک منشور می‌تواند یک چندضلعی با هر شکلی باشد. علاوه‌بر مساحت، محیط منشور نیز قابل محاسبه است و از مجموع طول یال‌های آن به‌دست می‌آید.

سؤالات متداول

1. مساحت منشور چیست؟
   مساحت یک منشور برابر است با مجموع مساحت کل وجه‌های آن.
2. فرمول مساحت منشور کدام است؟
   فرمول مساحت منشور به‌صورت «مساحت قاعده‌ها + مساحت جانبی» نوشته می‌شود.
3. فرمول مساحت جانبی منشور چیست؟
   مساحت جانبی منشور از فرمول «ارتفاع × محیط قاعده» محاسبه می‌شود.
4. محیط منشور چگونه به‌دست می‌آید؟
   محیط منشور از جمع طول یال‌های منشور به‌دست می‌آید.