در آموزش‌های پیشین، درمورد مفهوم نسبت و نسبتهای مساوی صحبت کردیم و گفتیم که اصطلاح نسبت را برای مقایسه دو چیز با واحدهای یکسان بهکار می‌برند. همچنین، توضیح دادیم که اگر دو یا چند نسبت با هم مساوی باشند، آن‌ها را نسبتهای مساوی میگوییم. حالا در این مقاله، قصد داریم به موضوعی در ارتباط با همین مفاهیم یعنی تناسب در ریاضی بپردازیم و نحوه تشکیل جدول تناسب در مسائل گوناگون را همراه با حل مثال آموزش دهیم.
تناسب در ریاضی چیست؟
مربع‌های شکل زیر را درنظر بگیرید. می‌خواهیم مشخص کنیم اگر طول ضلع مربع را تغییر دهیم، محیط و مساحت آن چه تغییری می‌کند.
دو جدول جداگانه به‌صورت زیر برای بررسی نسبت طول ضلع هر مربع به محیط و مساحتش تشکیل می‌دهیم.
| اندازه ضلع | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ |
| اندازه محیط (یک ضلع ضربدر ۴) | ۴ | ۸ | ۱۲ | ۱۶ | ۲۰ |
| اندازه ضلع | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ |
| اندازه مساحت (یک ضلع ضربدر خودش) | ۱ | ۴ | ۹ | ۱۶ | ۲۵ |
همان‌طور که می‌بینید، نسبت اندازه ضلع مربع به اندازه محیط برای هر کدام از مربع‌ها یکسان و برابر با ۱۴ است، اما نسبت اندازه ضلع مربع به اندازه مساحت هیچ‌کدام از مربع‌ها با دیگری مساوی نیست. به‌بیانی دیگر، اندازه ضلع مربع با اندازه محیط تناسب دارد اما با اندازه مساحت هیچ‌گونه تناسبی ندارد.
بنابراین، تناسب در ریاضی با نسبتهای مساوی در ارتباط است و هر دو نسبت مساوی یک تناسب تشکیل می‌دهند. جدولی که نسبتهای برابر را داخل آن قرار می‌دهند، مانند جدول اندازه ضلع و محیط را جدول تناسب میگویند.
مثال هایی از تناسب در ریاضی
برای فهم بهتر تناسب در ریاضی و نحوه تشکیل جدول تناسب، درادامه به حل چند مثال مختلف می‌پردازیم.
مثال ۱: تعیین تناسب بین دو نسبت
آیا مقادیر زیر با هم متناسب‌اند؟
الف) ۸ مداد و ۱۲ دفتر – ۱۶ مداد و ۲۴ دفتر
ب) ۷ ماشین و ۹ دوچرخه – ۲۱ ماشین و ۳۰ دوچرخه
الف) ابتدا مقادیر را درون یک جدول تناسب قرار می‌دهیم و متناسب بودن آن‌ها را بررسی می‌کنیم.
| ۱۶ | ۸ | تعداد مداد |
| ۲۴ | ۱۲ | تعداد دفتر |
| ۱۶۲۴ | ۸۱۲ | نسبت تعداد مداد به دفتر |
رابطه بالا نشان میدهد که این دو نسبت با هم برابرند. بنابراین، می‌توان گفت تعداد مداد با تعداد دفتر متناسب است.
ب) تناسب مقادیر را در یک جدول بررسی می‌کنیم.
| ۲۱ | ۷ | تعداد ماشین |
| ۳۰ | ۹ | تعداد دوچرخه |
| ۲۱۳۰ | ۷۹ | نسبت تعداد ماشین به دوچرخه |
عدد ۷ در ۳ ضرب شده و حاصل آن ۲۱ شده است. پس باید ۹ را هم در ۳ ضرب کنیم تا دو نسبت مساوی باشند، اما همان‌طور که می‌بینید، حاصل ۹ در ۳ برابر با ۲۷ می‌شود که با مقدار داده‌شده در صورت مسئله یعنی ۳۰ متفاوت است. بنابراین، این دو نسبت با هم متناسب نیستند.
مثال ۲: محاسبه نسبت در جدول تناسب
یک قناد برای پخت یک نوع شیرینی، از شکر و آرد با نسبت ۲ به ۳ استفاده می‌کند. اگر آرد به‌کاررفته برای پخت این نوع شیرینی ۱۸۰۰ گرم باشد، مقدار شکر موردنیاز چقدر خواهد بود؟
جواب: ابتدا یک جدول تناسب به‌شکل زیر تشکیل می‌دهیم.
| ؟ | ۲ | مقدار شکر |
| ۱۸۰۰ | ۳ | مقدار آرد |
حالا باید مشخص کنیم چه عددی در ۳ ضرب شده که حاصل آن برابر با ۱۸۰۰ است. برای این کار، ۱۸۰۰ را تقسیم بر ۳ می‌کنیم.
برای اینکه دو نسبت با هم تناسب داشته باشند، عدد به‌دست آمده یعنی ۶۰۰ را در ۲ هم ضرب می‌کنیم.
| ۱۲۰۰ | ۲۶۰۰ | مقدار شکر |
| ۱۸۰۰ | ۳۶۰۰ | مقدار آرد |
بنابراین، مقدار شکر موردنیاز برای پخت شیرینی ۱۲۰۰ گرم است. توجه داشته باشید که چون مقدار آرد برحسب گرم است، مقدار شکر هم برحسب گرم به‌دست می‌آید.
مثال ۳: تعیین مقدار مجهول در جدول تناسب
مقادیر مجهول در جدول تناسب زیر را به‌دست آورید.
| ؟ | ۹ |
| ۵۶۰ | ؟ |
| ۳۲۰ | ۴۰ |
جواب: این جدول سه نسبت مساوی را نشان میدهد. برای اینکه رابطه بین نسبتها را به‌دست آوریم، از نسبت معلوم یعنی نسبت ۴۰ به ۳۲۰ استفاده می‌کنیم. بنابراین، ابتدا باید رابطه بین ۴۰ و ۳۲۰ را مشخص کنیم؛ یعنی ببینیم ۴۰ در چه عددی ضرب شده که مقدار آن ۳۲۰ شده است.
پس، عددی که در ۴۰ ضرب شده، ۸ است. این عدد را برای نسبت اول و دوم هم بهکار می‌بریم.
| ۷۲ | ۸ × ۹ |
| ۸ ÷ ۵۸۰ | ۷۰ |
| ۳۲۰ | ۸ × ۴۰ |
مثال ۴: طرفین وسطین در جدول تناسب
مقدار خواسته‌شده در جدول زیر را تعیین کنید.
جواب: در این مسئله نمی‌توان رابطه‌ای بین نسبتها پیدا کرد. به‌همین دلیل، برای تعیین مقدار نامعلوم از روش طرفین وسطین یا روش پروانه‌ای که قبلاً آن را آموزش دادیم، استفاده می‌کنیم.
۵ × ? = ۴ × 3
۵ × ? = ۱۲
برای اینکه مشخص کنیم چه عددی در ۵ ضرب شده که حاصل آن ۱۲ شده است، باید ۱۲ را بر ۵ تقسیم کنیم
مثال ۵: تناسب در محاسبات مالی
علی و خواهرش با کمک هم ۵ میلیون تومان پول پس‌انداز کرده‌اند. اگر نسبت پولی که علی پس‌انداز کرده به پول خواهرش ۴ به ۶ باشد، پس‌انداز هر کدام از آن‌ها چقدر است؟
جواب: با کمک جدول تناسب، مسئله را حل می‌کنیم.
| ؟ | ۴ | پس‌انداز علی |
| ؟ | ۶ | پس‌انداز خواهرش |
| ۵۰۰۰۰۰۰ | ۱۰ | مجموع پس‌انداز آن‌ها |
عدد ۱۰ را از جمع نسبتهای پول علی و خواهرش به‌دست آوردیم (۱۰ =۶ + ۴ ). حالا به‌راحتی می‌توانیم مقدار پول پس‌انداز هر یک را محاسبه کنیم.
| ۲۰۰۰۰۰۰ | ۵۰۰۰۰۰ × ۴ | پس‌انداز علی |
| ۳۰۰۰۰۰۰ | ۵۰۰۰۰۰ × ۶ | پس‌انداز خواهرش |
| ۵۰۰۰۰۰۰ | ۵۰۰۰۰۰ × ۱۰ | مجموع پس‌انداز آن‌ها |
بنابراین، مقدار پس‌انداز علی ۲ میلیون تومان و مقدار پس‌انداز خواهرش ۳ میلیون تومان است.
سخن پایانی
تناسب در ریاضی را برای نسبتهای مساوی بهکار می‌برند. اگر دو نسبت برابر باشند، میگوییم با هم تناسب دارند یا متناسب‌اند. تناسب بین نسبتها را در جدولی به‌نام جدول تناسب نشان می‌دهند. زمانی که در نسبتهای برابر یک یا چند مقدار نامعلوم داشته باشیم، این جدول برای درک مسئله بسیار کمک‌کننده خواهد بود.
سؤالات متداول
- تناسب در ریاضی یعنی چه؟
تناسب در ریاضی را برای نسبتهای مساوی بهکار میبرندِ. برای مثال، اگر دو نسبت برابر باشند، میگوییم با هم تناسب دارند. - چه نسبتهایی را متناسب میگویند؟
نسبتهایی که با هم برابرند را متناسب میگویند. - جدول تناسب چیست؟
جدولی است که که تناسب بین نسبتها را نشان میدهد و برای تعیین مقادیر نامعلوم در نسبتهای برابر بسیار کاربرد دارد.
